微分ガロア理論

数学において、微分ガロア理論は微分体の拡大を研究する分野です。

代数ガロア理論は代数体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体、すなわち導関数Dを備えた体、の拡大を研究します。微分ガロア理論の理論の多くは代数ガロア理論と平行しています。2 つの構成の違いの 1 つは、代数ガロア理論でよく見られる有限群と比較して、微分ガロア理論 のガロア群は行列リー群になる傾向があることです。

数学では、ある種の基本関数は他の基本関数の不定積分を表現できません。よく知られた例は で、その不定積分は統計学でおなじみの誤差関数です。他の例としては、 sinc 関数や などがあります。 ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$${\displaystyle x^{x}}$

基本関数の概念は単なる慣例にすぎないことに注意することが重要です。基本関数を再定義して誤差関数を含めると、この定義では の不定積分は基本関数と見なされます。ただし、基本関数の定義に関数をいくつ追加しても、不定積分が基本ではない関数は常に存在します。 ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

微分ガロア理論の理論を使用すると、初等関数のどの不定積分が初等関数として表現できないかを決定することができます。微分ガロア理論はガロア理論の枠組みに基づいています。代数ガロア理論が体の体拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体(導関数Dを持つ体)の拡大を研究します。

微分ガロア理論の大部分は代数ガロア理論と類似している。構造上の大きな違いは、微分ガロア理論におけるガロア群は代数群であるのに対し、代数ガロア理論ではクルル位相を備えたプロフィニット群であるという点である。

微分Dを持つ任意の微分体Fに対して、次のように定義されるFの定数体と呼ばれる部分体が存在する。

Con( F ) = { f∈F | Df = 0}です。

定数体にはFの素体が含まれます。

2つの微分体FとGが与えられたとき、^[1] が次を満たす とき 、 GはFの単純微分拡大と呼ばれる。

∃ s ∈ F ; Dt = Ds / s ,

G はFの対数拡大と呼ばれます。

これは対数微分の形をしています。直感的には、t はFのいくつかの要素sの対数として考えることができ、通常の連鎖律に対応しています。F は必ずしも一意に定義された対数を持つわけではありません。Fのさまざまな対数拡張が考えられます。同様に、対数拡張は 以下を満たします。

∃ s ∈ F ; Dt = tDs ,

そして微分拡張は

∃ s ∈ F ; Dt = s .

微分拡張または指数拡張は、体が特性ゼロを持ち、拡張された体の定数体が一致するときに、ピカール・ヴェシオ拡張になります。

上記の警告を念頭に置くと、この元はFの元sの指数関数と見なすことができます。最後に、 Con( F ) = Con( G ) を満たすFからGへの中間体の有限シーケンスがあり、シーケンス内の各拡張が有限代数拡張、対数拡張、または指数拡張のいずれかである場合、G は基本微分拡張と呼ばれます。

次の同次線形微分方程式を考えます。 ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in F}$

${\displaystyle D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\cdots +a_{n-1}Dy+a_{n}y=0}$　…（１）。

定数体上には最大でn個の線形独立解が存在する。Fの拡大Gは、微分方程式(1)のピカール・ヴェシオ拡大であるためには、Gが( 1 )のすべての解によって生成され、Con( F ) = Con( G )を満たす必要がある。

Fの拡大Gは 、Con( F ) = Con( G )が代数的に閉じた体であり、部分体の増加する連鎖が存在する とき、リウヴィル拡大である。

F = F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n = G

各拡大F _{k +1}  : F _{k は}有限代数拡大、微分拡大、指数拡大のいずれかである。有理関数体C ( x ) のリウヴィル拡大は、有理関数、指数関数、代数方程式の根、およびそれらの不定積分の有限の組み合わせによって得られる関数で構成される。明らかに、対数関数、三角関数、およびそれらの逆関数はC ( x ) 上のリウヴィル関数であり、特に基本的な微分拡大はリウヴィル拡大である。

C ( x )上の基本拡大に含まれるが、リウヴィル拡大には含まれない関数の例としては、 の不定積分が挙げられます。 ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

微分体Fについて、G がFの可分な代数拡大である場合、 Fの微分はGの微分に一意に拡張されます。したがって、G はFの微分構造を一意に継承します。

FとG がCon( F ) = Con( G )を満たす微分体であり、G がFの基本微分拡大であるとする。a ∈ Fおよびy ∈ GであってDy = a（すなわち、G がaの不定積分を含む）であるとする。すると、 c ₁ , …, c _n ∈ Con( F ) およびu ₁ , …, u _n , v ∈ Fが存在し、

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv}$

(リウヴィルの定理)。言い換えれば、不定積分が初等的な関数 (つまり、最悪でもFの初等微分拡大内に含まれる関数) だけが、定理で述べられている形式を持ちます。直感的には、初等不定積分だけが、単純な関数の有限個の対数の和として表現できます。

G / Fがピカール・ヴェシオ拡大であるとき、 GがFのリウヴィル拡大であることは、解ける恒等成分を持つ微分ガロア群と同値である。^[2]さらに、GがFのリウヴィル拡大であることは、 G がFの何らかのリウヴィル拡大体に埋め込み可能であることと同値である。

• 複素変数C ( x )の有理関数体 ( ) は、変数xに関する通常の微分を微分としてとると微分体になります。この体の定数体は複素数体Cです。

• 前述のリウヴィルの定理によれば、 f ( z ) とg ( z ) がzの有理関数であり、f ( z ) がゼロ以外で、g ( z ) が定数でない場合、 が初等関数であるためには、 となる有理関数h ( z )が存在する必要がある。誤差関数と正弦積分（ sinc 関数の不定積分）が初等関数として表せないという事実は、この性質から直ちに導かれる。${\displaystyle \textstyle \int f(z)e^{g(z)}\,dz}$${\displaystyle f(z)=h'(z)+h(z)g'(z)\,}$

• 微分方程式 の場合、ガロア群は絶対値が 1 である複素数の乗法群であり、円群とも呼ばれます。これは可解群の例であり、実際、この微分方程式の解は基本関数 (この場合は三角関数) です。${\displaystyle y''+y=0}$

• 複素数上のエアリー方程式の微分ガロア群は、 2次の特殊線型群SL(2,C) です。この群は解けません。つまり、その解は基本関数では表現できません。代わりに、その解はエアリー関数として知られています。${\displaystyle y''-xy=0}$

微分ガロア理論は数学や物理学で数多くの応用があります。たとえば、与えられた微分方程式が求積法 (積分) で解けるかどうかを判断するときに使用されます。また、古典力学におけるハミルトン系の積分可能性など、動的システムの研究にも応用されています。

重要な応用例の 1 つは、微分方程式の積分可能性条件の分析であり、これは物理学における対称性と保存則の研究に影響を与えます。

• ピカール・ヴェシオ理論

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