デラポルト流通

デラポルト

確率質量関数 とが 0 の場合、分布はポアソン分布です。が 0 の場合、分布は負の二項分布です。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \lambda}$
累積分布関数 とが 0 の場合、分布はポアソン分布です。が 0 の場合、分布は負の二項分布です。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \lambda}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda >0}$（固定平均） ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$（変数平均のパラメータ）
サポート	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {\Gamma (\alpha +i)\beta ^{i}\lambda ^{ki}e^{-\lambda }}{\Gamma (\alpha )i!(1+\beta )^{\alpha +i}(ki)!}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}\sum _{i=0}^{j}{\frac {\Gamma (\alpha +i)\beta ^{i}\lambda ^{ji}e^{-\lambda }}{\Gamma (\alpha )i!(1+\beta )^{\alpha +i}(ji)!}}}$
平均	${\displaystyle \lambda +\alpha \beta }$
モード	${\displaystyle {\begin{cases}z,z+1&\{z\in \mathbb {Z} \}:\;z=(\alpha -1)\beta +\lambda \\\lfloor z\rfloor &{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle \lambda +\alpha \beta (1+\beta )}$
歪度	#プロパティを参照
過剰尖度	#プロパティを参照
MGF の	${\displaystyle {\frac {e^{\lambda (e^{t}-1)}}{(1-\beta (e^{t}-1))^{\alpha }}}}$

デラポルト分布は、保険数理科学で注目されている離散確率分布です。^{[1] [2]これは、}負の二項分布とポアソン分布の畳み込みを使用して定義できます。^[2]負の二項分布が、平均パラメータ自体がガンマ分布を持つランダム変数であるポアソン分布と見なすことができるのと同様に、デラポルト分布は、平均パラメータに 2 つのコンポーネント、つまりパラメータを持つ固定コンポーネントと、パラメータとパラメータを持つガンマ分布の可変コンポーネントがある、ポアソン分布に基づく複合分布と見なすことができます。^[3]この分布は、1959 年に自動車事故の請求件数に関連してこれを分析したピエール デラポルトにちなんで名付けられましたが、^[4] 1934 年にはすでにロルフフォン リューダースの論文に別の形式で登場しており、^[5]そこでは Formel II 分布と呼ばれていました。^[2]${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

デラポルト分布の 歪度は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\lambda +\alpha \beta (1+3\beta +2\beta ^{2})}{\left(\lambda +\alpha \beta (1+\beta )\right)^{\frac {3}{2}}}}}$

分布の 過剰尖度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\lambda +3\lambda ^{2}+\alpha \beta (1+6\lambda +6\lambda \beta +7\beta +12\beta ^{2}+6\beta ^{3}+3\alpha \beta +6\alpha \beta ^{2}+3\alpha \beta ^{3})}{\left(\lambda +\alpha \beta (1+\beta )\right)^{2}}}}$

• Murat, M.; Szynal, D. (1998). 「k 次再帰を満たす計数分布とその複合分布のモーメントについて」.数学科学ジャーナル. 92 (4): 4038–4043. doi : 10.1007/BF02432340 . S2CID  122625458.