ディーン番号

ディーン数（De）は流体力学における無次元群であり、曲がったパイプやチャネル内の流れの研究で登場する。この数はイギリスの科学者WRディーンにちなんで名付けられた。彼は、直線パイプ内のポアズイユ流れから曲率の非常に小さいパイプ内の流れへの摂動法を用いて、層流の曲がったパイプ内の流体の動きの理論的解を初めて提示した。 ^{[1] [2]}

流体が直線パイプに沿って流れていて、ある地点以降が曲がっている場合、曲がった部分に入る流れは非対称な形状で遠心力を生じます。^[3]このような非対称性は放物線状の速度プロファイルに影響を及ぼし、直線パイプと比較して最大速度の位置がシフトします。したがって、最大速度は中心線から凹状の外壁に向かってシフトし、非対称の速度プロファイルを形成します。曲率から逆の圧力勾配が生成され、圧力が増加するため凸状の壁に近い速度が低下し、パイプの凹状の外壁に向かってその逆のことが起こります。これにより、一次流れに重ね合わされた二次運動が生じ、パイプ中央の流体は曲がりの外側に向かって押し流され、パイプ壁近くの流体は曲がりの内側に戻ります。この二次運動は、ディーン渦と呼ばれる一対の反対方向に回転するセルとして現れると予想されます。

ディーン数は通常De (またはDn ) で表されます。パイプまたはチューブ内の流れの場合、次のように定義されます。

${\displaystyle {\mathit {De}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,({\text{inertial forces}})({\text{centrifugal forces}})}}{\text{viscous forces}}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{D}})(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{R_{c}}})}}{\mu {\frac {v}{D}}D\,R_{c}}}={\frac {\rho \,D\,v}{\mu }}{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}={\textit {Re}}\,{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}}$

どこ

• ${\displaystyle \rho }$流体の密度である
• ${\displaystyle \mu }$動粘度は
• ${\displaystyle v}$軸方向の速度スケール
• ${\displaystyle D}$直径です（円形以外の形状の場合は、等価直径が使用されます。レイノルズ数を参照してください）
• ${\displaystyle R_{c}}$チャネルのパスの曲率半径です。
• ${\displaystyle {\textit {Re}}}$レイノルズ数です。

したがって、ディーン数は、レイノルズ数（直径のパイプを通る軸流に基づく）と曲率比の平方根の 積になります。${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$

ディーン数が低い場合（De < 40~60）、流れは完全に一方向です。ディーン数が40~60から64~75に増加すると、断面に波状の乱れが見られ、二次流れの証拠となります。それよりも高いディーン数（De > 64~75）では、ディーン渦のペアが安定し、一次動的不安定性を示します。二次不安定性はDe > 75~200で現れ、渦に波動、ねじれ、そして最終的には合体とペア分裂が見られます。De > 400では完全な乱流が形成されます。^[4]層流から乱流への遷移も多くの研究では検討されていますが、このパラメータは曲率比に大きく依存するため、普遍的な解決策は存在しません。^[5]意外なことに、曲率が不安定性を引き起こすことが知られているにもかかわらず、層流は直管よりもレイノルズ数が大きい場合（研究された最高の曲率比では2倍）でも維持できます。^[6]

ディーン数は、いわゆるディーン方程式に現れます。^{[7]これらは、}ニュートン流体の円環状パイプ内の軸方向に均一な定常流れに対するナビエ・ストークス方程式の完全な近似値であり、主要次数の曲率効果（つまり、の主要次数方程式）のみを保持することによって得られます。 ${\displaystyle a/r\ll 1}$

各点でパイプの中心線に揃った対応する単位ベクトルを持つ直交座標 を使用します。軸方向は で、中心線の平面の法線は 、従法線は です。圧力勾配 によって駆動される軸流の場合、軸方向の速度は でスケーリングされます。交差流の速度はでスケーリングされ、交差流の圧力は でスケーリングされます。長さはチューブの半径 でスケーリングされます。 ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle ({\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}})}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {z}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle u_{z}}$${\displaystyle U=Ga^{2}/\mu }$${\displaystyle u_{x},u_{y}}$${\displaystyle (a/R)^{1/2}U}$${\displaystyle \rho aU^{2}/L}$${\displaystyle a}$

これらの無次元変数と座標に関して、ディーン方程式は

${\displaystyle De\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}-u_{z}^{2}\right)=-De{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}}$

${\displaystyle De{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-De{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}}$

${\displaystyle De{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0}$

どこ

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}}$

は対流微分です。

ディーン数De はシステムに残っている唯一のパラメータであり、主要な次数の曲率効果をカプセル化します。高次の近似には追加のパラメータが含まれます。

曲率効果が弱い場合（Deが小さい場合）、ディーン方程式はDeにおける級数展開として解くことができます。主要次数の軸方向ポアズイユ流に対する最初の補正は、断面内の一対の渦が、中心を横切って曲がりの内側から外側へ流れを運び、縁を回って戻ってくることです。この解は臨界ディーン数まで安定しています。^[8] Deが大きい場合、複数の解が存在し、その多くは不安定です。 ${\displaystyle De_{c}\approx 956}$

• Berger, SA; Talbot, L.; Yao, LS (1983). 「曲がったパイプ内の流れ」. Annu. Rev. Fluid Mech . 15 : 461– 512. Bibcode :1983AnRFM..15..461B. doi :10.1146/annurev.fl.15.010183.002333.