位置の4階、5階、6階微分

運動学の物理学分野では、位置の4次、5次、6次導関数は、速度と加速度の一般化です。これらは、位置ベクトルの時間に関する導関数として定義され、1次、2次、3次導関数はそれぞれ速度、加速度、ジャークです。これらの高階導関数は、最初の3つほど一般的ではありません。^{[ 1 ] [ 2 ]}そのため、その名称は標準化されていませんが、最小スナップ軌道の概念はロボット工学で使用されています。^{[ 3 ]}

4 階微分はsnapと呼ばれ、5 階微分と 6 階微分は「時々冗談めかして」^{[ 4 ]} crackleとpopと呼ばれ、同名のRice Krispies の マスコットにちなんで名付けられました。^{[ 5 ] [ 6 ]} 4 階微分はjounceとも呼ばれます。^{[ 4 ]}

スナップとジャークを最小限に抑えることは、振動を減らし、よりスムーズな動作遷移を保証するため、機械工学や土木工学において有用です。土木工学では、特に曲率半径が変化するカーブ付近でスナップを制限するように鉄道線路や道路が設計されています。スナップが一定の場合、ジャークは線形に変化し、半径方向の加速度が徐々に増加します。スナップがゼロの場合、加速度は線形に変化します。これらのプロファイルは、多くの場合、数学的なクロソイド関数を使用して実現されます。同じ原理は、乗り心地を向上させるためにループやらせんのスムーズな遷移を使用するジェットコースターの設計者にも適用されています。^{[ 1 ]}

機械工学では、カムフォロワーがカムシャフトから飛び出すのを防ぐ自動車設計や、切削工具の急激な加速度変化が工具の早期摩耗や表面仕上げの不均一を引き起こす製造業などの分野で、スナップとジャークの制御が重要です。^{[ 1 ]}最小スナップと最小ジャークの軌道は、ロボット工学における軌道最適化にも使用されます。クワッドローターの最小スナップ軌道は制御努力を軽減できますが、 ^{[ 7 ]}ロボットマニピュレータの最小ジャーク軌道は、制御性能を向上させ、人間とロボットの相互作用を容易にする予測可能な動きを生成します。

スナップ^{[ 7 ]}またはジャウンス^{[ 2 ]}は、位置ベクトルの時間に関する4階微分、またはジャーク（3階微分）の時間に関する変化率です。^{[ 4 ]}同様に、加速度の2階微分または速度の3階微分であり、以下のいずれかの等価な式で定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}.}$$以下の式は、定数スナップに使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} t,\\\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} t^{2},\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} t^{3},\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} t^{4},\end{aligned}}}$$

どこ

表記法${\displaystyle \mathbf {s} }$（Visser ^{[ 4 ]}が使用した）は、一般的に同様に表記される変位ベクトルと混同してはならない。

スナップの次元は、時間の4乗あたりの距離[LT ⁻⁴ ] です。対応するSI単位はメートル毎秒の4乗、m/s ⁴、m⋅s ⁻⁴です。

位置ベクトルの時間に関する 5 階微分は、クラックルと呼ばれることがあります。^{[ 5 ]}これは、スナップ (4 階微分) の時間に対する変化率です。^{[ 5 ] [ 4 ]}クラックルは、以下のいずれかの同等の式で定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {c} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {j} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{4}}}={\frac {\mathrm {d} ^{5}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{5}}}}$$

一定のパチパチ音には、以下の式が使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} &=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {c} t\\[1ex]\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {c} t^{2}\\[1ex]\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {c} t^{3}\\[1ex]\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {c} t^{4}\\[1ex]\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {c} t^{5}\end{aligned}}}$$

どこ

クラックルの寸法は[LT ⁻⁵ ]です。対応するSI単位はm/s ⁵です。

位置ベクトルの時間に関する6階微分は、popと呼ばれることがあります。^{[ 5 ]}これは、クラックル（5階微分）の時間に対する変化率です。^{[ 5 ] [ 4 ]} Popは、以下のいずれかの同等の式で定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {c} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {j} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{4}}}={\frac {\mathrm {d} ^{5}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{5}}}={\frac {\mathrm {d} ^{6}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{6}}}}$$

人口が一定の場合、以下の式が使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {c} _{0}+\mathbf {p} t\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {c} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {p} t^{2}\\\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {c} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {p} t^{3}\\\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {c} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {p} t^{4}\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {c} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {p} t^{5}\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {c} _{0}t^{5}+{\tfrac {1}{720}}\mathbf {p} t^{6}\end{aligned}}}$$

どこ

pop の次元は [LT ⁻⁶ ] です。対応するSI 単位は m/s ⁶です。

• Wiktionaryにおけるjounceの辞書定義