分析コース

Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique (英語では「解析学講座」) は、1821 年にAugustin-Louis Cauchyによって出版された微積分の重要な教科書です。この記事では、Bradley と Sandifer による翻訳に従ってその内容を説明しています。

序文の 1 ページで、コーシーは次のように書いています。「関数の連続性について語るとき、無限小量の主要な性質、つまり無限小微積分学の基礎となる性質を扱わずにはいられませんでした。」翻訳者は脚注で次のようにコメントしています。「コーシーがここで極限についても言及していないのは興味深いことです。」

コーシーは続けてこう言う。「方法に関して言えば、私は幾何学に要求される厳密さをすべてそれらに与えようと努めたので、代数の一般性から導かれる議論に頼る必要は決してないだろう。」

6 ページで、コーシーはまず変数の量について論じ、次に次の言葉で限界の概念を紹介しています。「特定の変数に連続して割り当てられる値が、最終的に固定値との差が望むだけ小さくなるように、固定値に無限に近づくとき、この固定値は他のすべての値の限界と呼ばれます。」

7 ページで、コーシーは無限小を次のように定義しています。「そのような変数の連続した数値が、任意の指定された数値を下回る形で無限に減少すると、この変数は、無限小、つまり無限に小さい量と呼ばれるものになります。」コーシーは次のように付け加えています。「この種の変数の極限はゼロです。」

10 ページで、Bradley と Sandifer は、versed cosineとcovered sinを混同しています。Cauchy はもともとsinus versus ( versine ) を siv( θ ) = 1  − cos( θ ) と定義し、cosinus versus (現在ではcoversineとしても知られています) を cosiv( θ ) = 1  − sin( θ ) と定義しました。しかし、翻訳では、cosinus versus (および cosiv) が、covered sinではなく、versed cosine (現在ではvercosineとしても知られています)と誤って関連付けられています。

表記

リム

12ページで紹介されています。翻訳者は脚注で次のように述べています。「limit の表記「Lim.」は、Simon Antoine Jean L'Huilier (1750–1840) が [L'Huilier 1787、p. 31] で初めて使用しました。Cauchy は [Cauchy 1821、p. 13] でこれを「lim.」と書きました。ピリオドは [Cauchy 1897、p. 26] までに消えていました。」

この章のタイトルは「無限に小さい量と無限に大きい量、および関数の連続性について。さまざまな特定の場合における関数の特異値」という長いものです。21ページで、コーシーは次のように書いています。「変数の量が無限に小さくなるとは、その数値が無限に減少し、極限ゼロに向かって収束することを意味します。」同じページに、コーシーで見つかるそのような変数の唯一の明示的な例があります。

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

22ページで、コーシーは無限小の大きさの桁についての議論を次のように始めています。「を無限に小さい量、つまり数値が無限に減少する変数とします。のさまざまな整数乗、すなわち ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

同じ計算にこれらの様々な累乗をそれぞれ第1次、第2次、第3次などの無限小数点数と呼ぶ。コーシーは「 n次（nは整数） の無限小数の一般形は次のようになる」と述べている。

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ または少なくとも 。${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$

23 ページから 25 ページにかけて、コーシーはさまざまな順序の無限小値の特性に関する 8 つの定理を示しています。

このセクションのタイトルは「関数の連続性」です。コーシーは次のように書いています。「これらの限界値の間に含まれるxの値から始めて、変数xに無限小の増分を加えると、関数自体は差だけ増加します。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$「

そして、

「関数f ( x ) は、指定された制限値の間でxの連続関数であり、これらの制限値間のxの各値に対して、差の数値がの数値とともに無限に減少する場合に該当します。」${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$${\displaystyle \alpha }$

コーシーは、イタリック体で書かれた次の言葉で連続性の定義を示しています。

「関数 f ( x )が与えられた限界値の間で x に関して連続であるとは、これらの限界値の間で変数の無限小増分が常に関数自体の無限小増分を生成する場合です。」

32 ページでコーシーは中間値定理を述べています。

セクション 6.1 の定理 I (Bradley と Sandifer の翻訳では 90 ページ) で、Cauchy は和定理を次のように表現しています。

級数（１）の各項が同じ変数ｘの関数であり、級数が収束する特定の値の近傍においてこの変数ｘに関して連続している場合、級数の和ｓもこの特定の値の近傍においてｘの連続関数となる。

ここでシリーズ（１）は86ページに掲載されています：（１）${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$

• オーギュスティン＝ルイ・コーシー（1821年）。 「代数を分析する」。エコール・ロワイヤル・ポリテクニックの分析コース。 Vol. 1. L'Imprimerie Royale、Debure frères、Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi 。2015 年 11 月 7 日に取得。* archive.orgで無料版を入手できます
• Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (2010-01-14) [2009]. Buchwald, JZ (編). Cauchy's Cours d'analyse: An Annotated Translation. Cauchy, Augustin-Louis . Springer Science+Business Media, LLC . pp. 10, 285. doi :10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . 2015年11月9日閲覧。
• グラビナー、ジュディス・V. (1981)。『コーシーの厳密な微積分の起源』ケンブリッジ：MIT 出版。ISBN 0-387-90527-8。