コープランド法

コープランド方式またはリュル方式は、各候補者のペアごとの勝敗を数えることに基づいた 順位選択投票システムです。

このシステムでは、有権者は投票用紙で候補者を最良から最悪までランク付けします。その後、候補者は総当たり戦で競い合い、投票用紙を使用して各対戦でどの候補者が過半数の有権者に支持されるかを決定します。対戦で最も多く勝利した候補者が選ばれます (同点の場合は 0.5 ポイント獲得)。

コープランドの方法はコンドルセ方式の一種で、一対一の選挙ですべて勝利した候補者は明らかに総じて最も多くの勝利を収めることになる。^[1]コープランドの方法は、おそらくコンドルセ方式の中で最も説明が簡単で、手作業で簡単に実施できるという利点がある。一方、コンドルセ方式の勝者がいない場合は、同点になることが多い。そのため、通常は賭け金の少ない選挙にのみ使用される。

コープランドの方法は、 1299年にラモン・リュイが著した論文『選挙論』で考案されたもので、 15世紀にはニコラウス・クザーヌスが論じた。 ^[2]しかし、 1951年の講義で独自に提唱したアーサー・ハーバート・コープランドにちなんで名付けられることが多い。 ^[3]

入力は他の順位付け投票システムと同じです。つまり、各投票者は、同点が許される候補者の順位付けされた優先順位リストを提出する必要があります（厳密な弱い順序）。

これは、各有権者に候補者リストを提供し、最も好む候補者に「1」、2番目に好む候補者に「2」などと記入してもらうことで実現できます。一部の候補者の順位を空白のままにした有権者は、候補者間では無関心であるが、順位付けされたすべての候補者を自分よりも好んでいるとみなされます。

結果行列rは次のように構成される: ^[4] r _ijは

• 1 候補者iを候補者jより強く支持する有権者が、候補者iを候補者jより強く支持する有権者より多い場合
• ⁠1/2⁠数字が同じ場合
• iよりjを好む投票者よりもiよりjを好む投票者の方が多い場合は 0 。

これは「1/ 1 ⁄ 2 /0」方式（勝ち、引き分け、負けにそれぞれ 1 つの数字）と呼ばれることもあります。

慣例により、r _{ii は}0 です。

候補iの Copeland スコアは、r _ijのjにわたる合計です。スコアがn − 1 ( nは候補の数) の候補がある場合、この候補は (必ず一意の) Condorcet および Copeland 勝者となります。それ以外の場合、Condorcet 法では決定は行われず、スコアが最大の候補が Copeland 勝者となります (一意ではない場合があります)。

結果行列を作成する別の（かつ同等の）方法は、候補者iを候補者jより厳密に好む投票者が候補者jをiより好む投票者より多い場合はr _{ij を}1 にし、数が等しい場合は 0 にし、jをiより好む投票者が候補者jをiより好む投票者より多い場合は -1 にすることです。この場合、行列rは反対称です。

最初に説明した方法は、「1/ 1 ⁄ 2 /0」方式と呼ばれることもあります。リュイ自身が1/1/0方式を提唱し、同じ支持を得た2人の候補者が、相手を破ったのと同じ評価を受けるようにしました。^[5]

有権者の数が増えるにつれて、優先順位の同点の可能性はますます低くなります。

コープランド法に関連する方法は、ラウンドロビン トーナメントでよく使用されます。一般に、各競技者のペアは互いに同じ数のゲームをプレイすると想定されます。r _ijは、競技者i が競技者jに対して勝った回数に、両者の引き分け回数の半分を加えたものです。

19世紀半ばに国際チェスでまさにこの形式が採用されました。^[6]これはイングランドフットボールリーグの最初のシーズン（1888-1889）で採用されましたが、主催者は当初1/0/0システムの使用を検討していました。便宜上、数字は2倍になり、つまりシステムは1/ 1 ⁄ 2 /0ではなく2/1/0と表記されました。

(ボルダ カウントは、スポーツ トーナメントの判定にも使用されています。ボルダ カウントは、完了した投票によって競技者ペア間の試合結果が決まるトーナメントに似ています。)

コープランド法で決定される多くの場合、勝者はコンドルセ基準を満たす唯一の候補者です。これらの場合、その基準の議論（強力ですが、普遍的に受け入れられているわけではありません^[7]）はコープランド法にも同様に当てはまります。

コンドルセの勝者がいない場合、コープランドの方法は、コンドルセ法の自然な拡張、つまり単純な加算によって好みを組み合わせることによって決定を下そうとします。この方法が正当化されるのは、論理的議論よりもその単純さにあります。

ボルダカウントは、好みを加算的に組み合わせる別の方法です。顕著な違いは、ボルダ システムでは、ある候補者に対する投票者の好みが重みを持ち、その重みは、その間にランクされている候補者の数に応じて増加することです。ボルダ カウントの観点からの議論は、介在する候補者の数が好みの強さの指標になるというものです。反論は、どの候補者が選挙に立候補したかによって、懸念される程度に左右されるというものです。

パーサ・ダスグプタとエリック・マスキンは、ある一般誌でコープランドの方法を正当化しようとし、ボルダのカウントと多数決と比較した。^[8]彼らの議論は、コンドルセ基準の利点を中心に展開され、特にスペクトル上の意見に注目している。コンドルセの勝者がいない選挙を決定するために、最初にコープランドの方法を使用し、次に同点決着法を使用する方法は、コンドルセ法に対する「おそらく最も単純な修正」として提示されている。

他の投票方法と同様に、コープランドの投票方法では、2 人の候補者が同数の票を獲得した場合に同点の結果が生じる可能性があります。ただし、ほとんどの方法とは異なり、有権者が増えても解消されない原因で同点になる可能性もあります。これは、次の例に示すように、投票選好にコンドルセ サイクルがある場合に常に発生する可能性があります。

エイブル、ベイカー、チャーリー、ドラモンドの 4 人の候補者と、5 人の投票者のうち 2 人が ABCD に投票し、2 人が BCDA に投票し、1 人が DABC に投票するとします。候補者のペアの結果は次の表の主要部分に示され、最初の候補者の Copeland スコアは追加の列に表示されます。

コンドルセ基準を満たす候補者がいないため、A と B はコープランド同点です。投票者の数が 100 倍で、投票率がほぼ同じ場合 (サンプルの変動による)、投票数は増えますが、コープランド スコアは同じままです。たとえば、「A」の行は次のようになります。

コープランド法の主な目的は、コンドルセ基準を満たす候補者がいない場合、勝者を出すことなので、同点のリスクは特に懸念される。リチャード・ダーリントンが行ったシミュレーションでは、候補者が10人以下の場合、このタスクが成功する確率は半分以下であることが示唆されている。^[9]

一般に、投票者がスペクトルに沿った好みに従って投票する場合、中央投票者定理によりコンドルセサイクルが存在しないことが保証されます。したがって、そのようなサイクルは、投票者の好みがスペクトルに沿っていないか、投票者が自分の好みに従って投票しない（たとえば、戦略的な理由）場合にのみ発生します。

ニコラウス・タイドマンとフロレンツ・プラスマンは、報告された選挙の好みに関する大規模な調査を行った。^[10]彼らは、小選挙区でかなりの数のサイクルを発見したが、それはすべて、あるいは大部分は投票者の数の少なさに起因する可能性があると述べた。彼らは、「投票者が多い選挙では、投票サイクルは、もしあったとしても、非常にまれにしか発生しない」と想定することは、彼らのデータと一致していると結論付けた。

インスタントランオフ (IRV)、ミニマックス、ボルダカウントは自然なタイブレークです。最初の 2 つはこの用途ではあまり推奨されませんが、同様の考慮事項が適用されるスミスの方法に関連して議論されることがあります。

ダスグプタとマスキンは、コープランドタイブレークとしてボルダカウントを提案しました。これはダスグプタ-マスキン方式として知られています。^[11]これは以前、フィギュアスケートで「OBO」（=ワンバイワン）ルールという名前で使用されていました。^[5]

代替案は上記の「エイブル・ベイカー」の例で説明できます。この例では、エイブルとベイカーがコープランドの共同勝者です。チャーリーとドラモンドは脱落し、投票用紙はA-Bが3枚、B-Aが2枚に減ります。同点の場合はエイブルが選出されます。^[12]

コープランド法には、標準的な望ましい特性が数多くあります (下の表を参照)。最も重要なのは、コンドルセ基準を満たしていることです。つまり、候補者が 1 対 1 の投票でライバル全員に勝てば、その候補者が勝者となります。したがって、コープランド法は、中間投票者定理を満たしています。中間投票者定理とは、意見がスペクトルに沿っている場合、中間投票者が好む候補者が勝利する、というものです。

コープランド法はスミス基準も満たしている。^[13]

コープランド法とスポーツのトーナメントとの類似性、そしてコープランド法の全体的な単純さは、他のコンドルセアルゴリズムよりも有権者に受け入れられやすいと主張されている。^[14]

テネシー州が州都の場所を決める選挙を行っているとします。人口は 4 つの主要都市に集中しています。すべての有権者は州都ができるだけ近くにあることを望んでいます。選択肢は次のとおりです。

• メンフィスは最大の都市だが、他の都市からは遠い（投票者の42％）
• 州の中心部に近いナッシュビル（有権者の26%）
• チャタヌーガ、やや東（有権者の15％）
• ノックスビル、はるか北東（投票者の17％）

各地域の有権者の好みは次のとおりです。

コンドルセの勝者を決めるには、すべての候補者を一連の架空の一対一の対決で他のすべての候補者と対戦させる必要があります。各対決では、各投票者は自分の所在地に物理的に最も近い都市を選択します。各対決では、投票者の過半数が支持する候補者が勝者となります。すべての可能な対決の結果が判明すると、次のようになります。

各候補者の勝敗は次のようになります。

ナッシュビルは無敗でコンドルセの勝者となる。1/0/−1法によるコープランドスコアは、ナッシュビルが最大化する純勝利数である。投票者は各候補者のペア間でどちらか一方に好みを表明したため、1/ ⁠+1/2⁠ /0 メソッドは勝利数のみであり、同様にナッシュビルによって最大化されます。このスコアリング システムのrマトリックスは、最後の列に表示されます。

1 つの議席をめぐって 5 人の候補者が争う選挙では、順位付け投票方式(4 つの異なるセットで 100 票) を使用して、次の票が投じられました。

この例では、同票がいくつかあります。たとえば、投票者の 10% が B または C に順位を付けませんでした。そのため、これらの候補者は D、A、E より下位にランク付けされ、同票になったとみなされます。

候補者間の 10 通りのペア比較の結果は次のとおりです。

各候補者の勝敗は次のようになります。

コンドルセ勝者(ペア比較で他のすべての候補者に勝つ候補者) は存在しません。候補者 A はコープランド勝者です。また、投票者がどちらを好まないかを示す候補者ペアは存在しません。

コープランド法は、スコアによる候補者の全順序付けを生成し、計算が簡単なため、全順序付けを生成しない別の投票方法と組み合わせて、候補者のソートされたリストを生成する場合によく役立ちます。たとえば、シュルツ法とランク付けペア法は、候補者の推移的な部分順序付けを生成します。これは通常、単一の勝者を生成しますが、次点者を集計する唯一の方法ではありません。コープランド法をそれぞれの方法の部分順序付けに従って適用すると、方法の部分順序付けと互換性があることが保証された全順序付け（位相的順序付け）が得られ、部分順序が隣接行列によって与えられる場合は深さ優先探索よりも簡単になります。

より一般的には、コープランド スコアには、S 内のすべての候補者が S に含まれないすべての候補者に勝つような候補者のサブセット S がある場合、コープランド スコアが θ を超えるすべての候補者が S に含まれ、コープランド スコアが θ 未満のすべての候補者が S に含まれないというしきい値 θ が存在するという便利な特性があります。このため、コープランド スコアは、スミス セットや支配的な相互第 3 セットなど、関心のある可能性のあるさまざまな候補者のサブセットを見つけるのに実用的です。

• エリック・パキット、「投票方法」、スタンフォード哲学百科事典（2019年秋版）、エドワード・N・ザルタ（編）
• Copeland メソッドを含む複数の Condorcet メソッドをサポートするCondorcet クラスPHP ライブラリ。

• 順位投票
• 選挙制度の比較
• 民主主義と選挙に関するトピックのリスト
• 投票システム
• マルチウィナー投票- Copeland のいくつかのマルチウィナーバリアントに関する情報が含まれています。

1. E Stensholt、「AV における非単調性」。投票は重要です。第 15 号、2002 年 6 月 (オンライン)。
2. VR Merlin、DG Saari、「Copeland メソッド。II. 操作、単調性、およびパラドックス」、Journal of Economic Theory、第 72 巻、第 1 号、1997 年 1 月、148 ～ 172 ページ。
3. DG Saari および VR Merlin、「コープランド法。I. 関係性と辞書」、経済理論、第 8 巻、第 1 号、1996 年 6 月、51 ～ 76 ページ。