座標条件

一般相対性理論では、物理法則は一般的に共変的な形で表現できます。つまり、物理法則によって記述される世界は、座標系の選択に依存しません。しかし、実際の問題を解決したり、予測を行ったりするためには、特定の座標系を固定することがしばしば有用です。座標条件は、そのような座標系を選択します。

アインシュタイン場の方程式は、初期時刻における計量テンソルがどこでも何であるかを知っていても、計量を一意に決定しません。この状況は、マクスウェル方程式がポテンシャルを一意に決定できないことと類似しています。どちらの場合も、ゲージ固定によって曖昧さを解消できます。したがって、座標条件はゲージ条件の一種です。^{[ 1 ]} 一般的に共変な座標条件はありませんが、多くの座標条件はローレンツ共変または回転共変です。

素朴に考えると、座標条件は4つの座標の発展を表す方程式の形をとるように思えるかもしれないし、実際、いくつかのケース（例えば調和座標条件）ではそのように表すことができる。しかし、より一般的なのは、計量テンソルの発展を表す4つの追加方程式（アインシュタイン場の方程式に加えて）として現れることである。アインシュタイン場の方程式だけでは、座標系に対する計量の発展を完全に決定することはできない。計量の10個の成分を決定する方程式が10個あるので、そう思えるかもしれない。しかし、リーマン曲率テンソルの第2ビアンキ恒等式により、アインシュタインテンソルの発散はゼロであり、これは10個の方程式のうち4個が冗長であることを意味し、4つの座標の選択に関連付けられる4つの自由度が残る。マスター方程式のクレイマース・モヤル・ファン・カンペン展開（テンソル積を分解するためのクレブシュ・ゴルダン係数を使用）からも同じ結果が得られる。

特に有用な座標条件は、調和条件（「ド・ドンダーゲージ」とも呼ばれる）である。

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\!.}$

ここで、ガンマはクリストッフェル記号（「アフィン接続」とも呼ばれる）であり、上付き文字の「g」は計量テンソルの逆数です。この調和条件は、重力波を扱う際に物理学者が頻繁に使用します。また、この条件はポストニュートン近似を導出する際にもよく使用されます。

調和座標条件は一般には共変ではないが、ローレンツ共変である。この座標条件は計量テンソルの曖昧さを解消する。${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$計量テンソルが満たさなければならない4つの追加の微分方程式を与えることによって。

もう一つ特に有用な座標条件は、同期条件です。

${\displaystyle g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!}$

そして

${\displaystyle g_{00}=-1\!}$。

同期座標はガウス座標とも呼ばれます。^{[ 2 ]}これらは宇宙論 でよく使われます。^{[ 3 ]}

同期座標条件は、一般に共変でもローレンツ共変でもない。この座標条件は、計量テンソルの曖昧さを解消する。${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$計量テンソルが満たさなければならない4つの代数方程式を示すことによって。

物理学者は他にも多くの座標条件を採用してきたが、上記の条件ほど広く用いられているものはない。調和座標条件や同期座標条件など、物理学者が用いるほとんどすべての座標条件は、どこでもミンコフスキー テンソルに等しい計量テンソルによって満たされる。（ただし、ミンコフスキー座標のリーマン テンソル、ひいてはリッチ テンソルは恒等的にゼロであるため、アインシュタイン方程式はミンコフスキー座標に対してゼロのエネルギー/物質を与える。したがって、ミンコフスキー座標は許容できる最終的な答えにはなり得ない。）調和座標条件や同期座標条件とは異なり、一般的に用いられる座標条件の中には、決定不足または決定過剰となるものがある。

不確定条件の一例として、計量テンソルの行列式が− 1 であるという代数的な記述があり、これは依然としてかなりのゲージ自由度を残しています。^{[ 4 ]} この条件は、計量テンソルの曖昧さを解消するために、他の条件によって補完される必要があります。

過剰決定条件の一例として、計量テンソルとミンコフスキーテンソルの差が単にヌル4ベクトルの自身を掛けたものであるという代数的記述があり、これは計量のカーシルト形式として知られています。 ^{[ 5 ]} このカーシルト条件は座標の曖昧さを解消するだけでなく、ある種の物理的な時空構造も規定します。カーシルト計量における計量テンソルの行列式は-1であり、それ自体が不足決定座標条件です。^{[ 4 ] [ 6 ]}

座標条件を選択する際には、その選択によって生じる錯覚やアーティファクトに注意することが重要です。例えば、 シュヴァルツシルト計量では、点源とは別の面に見かけ上の特異点が含まれることがありますが、その特異点は実際の物理的現実から生じるものではなく、単に座標条件の選択によるアーティファクトにすぎません。^{[ 7 ]}

ポストニュートン展開などの近似法を用いてアインシュタイン場の方程式を解く場合、展開が可能な限り速やかに収束する（あるいは少なくとも発散しない）ような座標条件を選択する必要がある。同様に、数値解法においては、焦線（座標特異点）を避ける必要がある。

上述の調和座標条件のようなローレンツ共変な座標条件をアインシュタイン場の方程式と組み合わせると、ある意味で特殊相対性理論と一般相対性理論の両方と整合する理論が得られる。そのような座標条件の最も単純な例としては、以下のようなものがある。

1. ${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }=k\,g_{\mu \nu ,\alpha }\eta ^{\mu \nu }\,.}$
2. ${\displaystyle g^{\alpha \beta }{}_{,\beta }=k\,g^{\mu \nu }{}_{,\gamma }\eta _{\mu \nu }\eta ^{\alpha \gamma }\,.}$

ここで、定数kは任意の都合の良い値に設定できる。