凸測度

数学における測度と確率論において、凸測度とは、簡単に言えば、2つの測定可能な集合AとBの「間」のどの中間集合にも、AまたはBの個別よりも大きな質量を割り当てない確率測度である。AとBの確率と中間集合の確率を比較する方法は複数あり、対数凹、調和凸など、凸性の定義は複数ある。数学者クリステル・ボレルは、 1970年代に局所凸空間上の凸測度の詳細な研究の先駆者であった。 ^{[1] [2]}

X を局所凸 ハウスドルフ ベクトル空間とし、Xのボレルσ代数上の確率測度μ を考える。 −∞ ≤ s ≤ 0 を固定し、 u、v ≥ 0 かつ 0 ≤ λ ≤ 1 に対して、以下を定義する。

${\displaystyle M_{s,\lambda }(u,v)={\begin{cases}(\lambda u^{s}+(1-\lambda )v^{s})^{1/s}&{\text{if }}-\infty <s<0,\\\min(u,v)&{\text{if }}s=-\infty ,\\u^{\lambda }v^{1-\lambda }&{\text{if }}s=0.\end{cases}}}$

Xの部分集合AとBについては、

${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B=\{\lambda x+(1-\lambda )y\mid x\in A,y\in B\}}$

ミンコフスキー和に対してである。この表記法を用いると、測度μは、 Xのすべてのボレル可測部分集合AとBとすべての0 ≤ λ ≤ 1 に対して、s凸^[1]であると言われる。

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq M_{s,\lambda }(\mu (A),\mu (B)).}$

s = 0の特別なケースは不等式である

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },}$

つまり

${\displaystyle \log \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \lambda \log \mu (A)+(1-\lambda )\log \mu (B)。}$

したがって、測度が 0 凸であることは、それが対数的に凹であるということと同じことです。

s凸測度のクラスは、sが-∞に減少する につれて入れ子になった増加族を形成する。

${\displaystyle s\leq t{\text{ かつ }}\mu {\text{ は }}t{\text{-凸型}}\implies \mu {\text{ は }}s{\text{-凸型}}}$

または、同等に

${\displaystyle s\leq t\implies \{s{\text{-凸測度}}\}\supseteq \{t{\text{-凸測度}}\}.}$

したがって、−∞ 凸測度の集合はそのようなクラスの中で最大であり、0 凸測度 (対数的に凹の測度) は最小のクラスです。

上記の意味でのn次元ユークリッド空間R ⁿ上の測度μの凸性は、その確率密度関数の凸性と密接に関係している。^[2] 実際、μがs凸であるためには、あるR ^k上の確率密度関数ρを持つ絶対連続測度νが存在し、μ が線型写像またはアフィン写像の下でν上のプッシュフォワードであり、凸関数である場合が必要である。ここで ${\displaystyle e_{s,k}\circ \rho \colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle e_{s,k}(t)={\begin{cases}t^{s/(1-sk)}&{\text{if }}-\infty <s<0\\t^{-1/k}&{\text{if }}s=-\infty ,\\-\log t&{\text{if }}s=0.\end{cases}}}$

凸測度は0-1法則も満たす。Gがベクトル空間Xの可測加法部分群（つまり可測線型部分空間）である場合、Gのμによる内測度は、

${\displaystyle \mu _{\ast }(G)=\sup\{\mu (K)\mid K\subseteq G{\text{ かつ }}K{\text{ はコンパクト}}\},}$

は0か1でなければならない。（ μがラドン測度であり、したがって内部正規測度である場合、測度μとその内部測度は一致するので、Gのμ測度は0か1である。）^[1]