複素アダマール行列とは、 次の 2 つの条件を満たす 複素 行列 です 。
いいえ × いいえ
{\displaystyle N\times N}
H
{\displaystyle H}
ユニモジュラ性（ 各エントリの モジュラスは 1 です）:
|
H
じゅう け
|
= 1
のために
じゅう 、 け = 1 、 2 、 … 、 いいえ
{\displaystyle |H_{jk}|=1{\text{ }}j,k=1,2,\dots ,N の場合}
直交性 : 、
H
H
†
= いいえ 私
{\displaystyle HH^{\ダガー }=NI}
ここで は の エルミート転置 を表し 、 は 単位行列 です。この概念は アダマール行列 の一般化です 。任意の複素アダマール行列は を掛けることで ユニタリ行列 にすることができます 。 逆に 、すべての要素がモジュラスである任意のユニタリ行列は を掛けることで複素アダマール行列になります。
†
{\displaystyle \dagger}
H
{\displaystyle H}
私
{\displaystyle I}
H
{\displaystyle H}
1
いいえ
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}
1
いいえ
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}
いいえ
。
{\displaystyle {\sqrt {N}}.}
複素アダマール行列は、作用素代数 の研究や 量子計算 の理論で登場します 。 実 アダマール行列と バトソン型アダマール行列は、 複素アダマール行列の特殊なケースを形成します。
複素アダマール行列は任意の自然数 に対して存在する （現実の場合、アダマール行列はすべての自然数に対して存在するわけではなく 、 すべての許容可能な自然数に対して存在が知られているわけではない ）。例えば、フーリエ行列（ 正規化因子を除いた
DFT行列 の 複素共役）は、
いいえ
{\displaystyle N}
いいえ
{\displaystyle N}
いいえ
{\displaystyle N}
[
ふ
いいえ
]
じゅう け
:= 経験 [ 2 π 私 （ じゅう − 1 ） （ け − 1 ）
/
いいえ ]
ふ o r
じゅう 、 け = 1 、 2 、 … 、 いいえ
{\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}
このクラスに属します。
同等性 2つの複素アダマール行列は、対角 ユニタリ行列 と 置換行列 が存在し、
その行列が以下の式
で表されるとき 、 同値 であると呼ばれる。
H
1
≃
H
2
{\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}}
だ
1
、
だ
2
{\displaystyle D_{1},D_{2}}
ポ
1
、
ポ
2
{\displaystyle P_{1},P_{2}}
H
1
=
だ
1
ポ
1
H
2
ポ
2
だ
2
。
{\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}
任意の複素アダマール行列は 、最初の行と最初の列のすべての要素が 1 に等しい
位相ずれアダマール行列と同等です。
および すべての複素アダマール行列はフーリエ行列 と同値である 。 に対して 、同値でない複素アダマール行列の連続した1パラメータ族が存在する。
いいえ = 2 、 3
{\displaystyle N=2,3}
5
{\displaystyle 5}
F
N
{\displaystyle F_{N}}
N
=
4
{\displaystyle N=4}
F
4
(
1
)
(
a
)
:=
[
1
1
1
1
1
i
e
i
a
−
1
−
i
e
i
a
1
−
1
1
−
1
1
−
i
e
i
a
−
1
i
e
i
a
]
w
i
t
h
a
∈
[
0
,
π
)
.
{\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).}
次のような複素アダマール行列の族が知られています
。
N
=
6
{\displaystyle N=6}
を含む単一の2パラメータ族 、
F
6
{\displaystyle F_{6}}
単一の1パラメータファミリー 、
D
6
(
t
)
{\displaystyle D_{6}(t)}
巡回 アダマール行列 を含む 1パラメータ軌道 、
B
6
(
θ
)
{\displaystyle B_{6}(\theta )}
C
6
{\displaystyle C_{6}}
前の2つの例を含む2パラメータ軌道 、
X
6
(
α
)
{\displaystyle X_{6}(\alpha )}
対称行列 の 1パラメータ軌道 、
M
6
(
x
)
{\displaystyle M_{6}(x)}
前の例を含む2パラメータ軌道 、
K
6
(
x
,
y
)
{\displaystyle K_{6}(x,y)}
これまでの例をすべて含む3パラメータ軌道 、
K
6
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle K_{6}(x,y,z)}
自由度が4であるさらなる構成では、 以外の例も得られます 。
G
6
{\displaystyle G_{6}}
K
6
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle K_{6}(x,y,z)}
単一点 - バトソン型アダマール行列の 1 つ 。
S
6
∈
H
(
3
,
6
)
{\displaystyle S_{6}\in H(3,6)}
ただし、このリストが完全であるかどうかは不明ですが、 6 次複素アダマール行列すべてを網羅した (ただし必ずしも冗長でないとは限らない) リストである
と 推測されます。
K
6
(
x
,
y
,
z
)
,
G
6
,
S
6
{\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}
参考文献
Haagerup, U. (1997). 「n×n 行列の直交最大アーベル * 部分代数と巡回 n 根」. Operator Algebras and Quantum Field Theory (ローマ), 1996 . Cambridge MA: International Press. pp. 296–322. ISBN 1-57146-047-0 . OCLC 1409082233. Dita, P. (2004). 「複素アダマール行列のパラメータ化に関するいくつかの結果」 J. Phys. A: Math. Gen . 37 (20): 5355–74. doi :10.1088/0305-4470/37/20/008. Szöllősi, F. (2010). 「ハイポサイクロイドによって 誘導される 6 次複素アダマール行列の 2 パラメータ族」。 アメリカ数学会紀要 。138 (3): 921–8。arXiv : 0811.3930v2。JSTOR 40590684 。 Tadej, W.; Życzkowski, K. (2006). 「複素アダマール行列の簡潔ガイド」 Open Systems & Infor. Dyn . 13 (2): 133–177. arXiv : quant-ph/0512154 . doi :10.1007/s11080-006-8220-2.
外部リンク 既知の複素アダマール行列の明示的なリスト と、サイズ7～16のアダマール行列の例については、複素アダマール行列カタログを参照してください。
N
=
6
{\displaystyle N=6}
![{\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06538713e6b7bb7ad70abaa3df7f0d5b22203657)
