バトソン型アダマール行列

数学において、すべての列（行）が互いに直交するNサイズの複素アダマール行列 H は、そのすべての要素がq乗の 1 の累乗である場合、バトソン型H ( q ,  N ) に属します。

${\displaystyle (H_{jk})^{q}=1\quad {\text{for}}\quad j,k=1,2,\dots ,N.}$

pが素数で の場合、は整数mに対してのみ存在でき、 のすべてのそのようなケースに対して存在すると推測されます。 に対して、対応する推測は 4 のすべての倍数に対して存在することです。一般に、バトソン型行列が 存在するようなすべての集合を見つける問題は 未解決のままです。 ${\displaystyle N>1}$${\displaystyle H(p,N)}$${\displaystyle N=mp}$ ${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \{q,N\}}$${\displaystyle H(q,N)}$

• ${\displaystyle H(2,N)}$N個の実 アダマール行列を含み、
• ${\displaystyle H(4,N)}$で構成されるアダマール行列が含まれます。このような行列は、Turyn によって複素アダマール行列と呼ばれていました。${\displaystyle \pm 1,\pm i}$
• 極限ではすべての複素アダマール行列を近似することができます。${\displaystyle q\to \infty }$
• フーリエ行列${\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[(2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\text{ }}j,k=1,2,\dots ,N の場合}$

バトソン型に属する

${\displaystyle F_{N}\in H(N,N),}$

その間

${\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{2}),}$

${\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{3}).}$

${\displaystyle D_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&-1&i&-i&i\\1&i&-1&i&-i&-i\\1&i&-1&i&-i&-i\\1&-i&i&-i&-i\\1&i&-i&-i&-i&-1\\\end{bmatrix}}\in \,H(4,6)}$、

${\displaystyle S_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&z&z&z^{2}&z^{2}\\1&z&1&z^{2}&z^{2}&z\\1 &z&z^{2}&1&z&z^{2}\\1&z^{2}&z^{2}&z&1&z\\1&z^{2}&z&z^{2}&z&1\\\end{bmatrix}}\in \,H(3,6)}$

どこ ${\displaystyle z=\exp(2\pi i/3).}$

• AT Butson、「一般化アダマール行列」、Proc. Am. Math. Soc. 13、894-898 (1962)。
• AT Butson、「一般化アダマール行列、相対差集合、および最大長線形再帰シーケンス間の関係」、Can. J. Math. 15、42-48 (1963)。
• RJ Turyn、「複素アダマール行列」、pp. 435-437、Combinatorial Structures and their Applications、Gordon and Breach、ロンドン (1970)。

• Butson 型の複素アダマール行列 - カタログ、Wojciech Bruzda、Wojciech Tadej、Karol Życzkowski 著、2006 年 10 月 24 日取得