共通価値オークション

共通価値 オークションでは、売り物の価値は入札者間で同一ですが、入札者はその商品の価値について異なる情報を持っています。これは、各入札者の商品に対する私的な評価が異なり、他の入札者の評価とは独立している私的価値オークションとは対照的です。 ^[1]

純粋な共通価値オークションの典型的な例としては、25セント硬貨がいっぱい入った瓶をオークションにかけることが挙げられます。この瓶は誰にとっても価値が同じです。しかし、瓶の中に何枚の25セント硬貨が入っているかは、入札者ごとに推測が異なります。その他の現実世界の例としては、財務省証券オークション、新規株式公開、スペクトルオークション、非常に高価な絵画、美術品、骨董品などがあります。

共通価値オークションで発生する重要な現象の 1 つに、勝者の呪いがあります。入札者は商品の価値について推定値しか持っていません。平均的に見て、入札者の推定値が正しければ、最高額の入札者は商品の価値を過大評価した人物である傾向があります。これは、アーカーロフの古典的な「レモン」の例に似た、逆選択の例です。合理的な入札者は逆選択を予測するため、落札時に自分の情報が依然として過度に楽観的であったことが判明しても、平均的にはあまり多く支払いません。

勝者の呪いという用語は、時には別の意味で使用され、素朴な入札者が逆選択を無視し、完全に合理的な入札者よりも十分に高い金額で入札し、実際に商品の価値よりも高い金額を支払う場合を指します。この用法は、オークションに関する理論的および実証的な文献とは対照的に、実験経済学の文献でよく見られます。

共通価値オークションとプライベート価値オークションは両極端である。これら2つの両極端の間には相互依存価値オークション（関連価値オークションとも呼ばれる）があり、入札者の評価（例：）は共通価値コンポーネント（）とプライベート価値（）コンポーネントを持つことができる。2つのコンポーネントは相関関係にあるため、ある入札者のプライベート評価が別の入札者の評価に影響を与える可能性がある。^[2]これらのタイプのオークションは現実世界のオークションのほとんどを構成しており、時には紛らわしいことに共通価値オークションとも呼ばれる。 ${\displaystyle \theta _{i}=\theta +\nu _{i}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \nu _{i}}$

以下の例では、共通価値オークションがベイジアン ゲームとしてモデル化されています。プレイヤーが保持する情報からそのプレイヤーの入札までの関数であるベイジアン ナッシュ均衡(BNE) を見つけようとします。すべての入札者が同じ関数を使用する 対称BNE (SBNE)に焦点を当てます。

以下の例はAcemogluとÖzdağlarに基づいています。^{[3] ：44–46}

2 人の入札者が、両者にとって高品質 (値 V) または低品質 (値 0) のオブジェクトに対する第一価格密封入札オークションに参加しています。各入札者は、確率 1/2 で高または低のいずれかになる信号を受け取ります。信号は、次のように真の値と関連しています。

• 少なくとも 1 人の入札者が低い信号を受信した場合、実際の値は 0 になります。
• 両方が高信号を受信した場合、真の値は V になります。

このゲームには純粋な戦略における SBNE はありません。

証明: このような均衡bがあったとします。これはシグナルから入札への関数です。つまり、シグナルxを持つプレーヤーはb ( x ) を入札します。明らかにb (low)=0 です。シグナルが低いプレーヤーは真の値が 0 であることを確実に知っており、そのための料金を支払いたくないからです。また、b (high) ≤ V でなければ、参加による利益はありません。入札者 1 がb1 (high)=B1 > 0 であるとします。入札者 2 の最適な応答、 b2 (high)=B2を検索します。いくつかのケースがあります。

1. 他の入札者は B2 < B1 で入札します。この場合、彼の期待される利益は 1/2 (入札者 2 が低い信号を持つ確率) × -B2 (その場合、彼は価値のないアイテムを獲得し、b2 (高い) を支払うため)、プラス 1/2 (入札者 2 が高い信号を持つ確率) × 0 (その場合、彼はアイテムを失うため) です。合計期待利益は -B2/2 で、これは 0 より悪いため、最適な応答とは言えません。
2. 他の入札者は B2 = B1 で入札します。この場合、彼の期待される利益は 1/2 倍 -B2 に 1/2 倍 1/2 倍 [V- B2] を加えたものになります (この場合、彼は確率 1/2 で商品を獲得するため)。合計の期待される利益は (V - 3 B2)/4 です。
3. 入札者b2はB2 > B1で入札します。すると、彼の期待利益は1/2倍-B2に1/2倍[V-B2]を加えたものになります（この場合、彼は確率1で商品を獲得するため）。合計期待利益は（2 V - 4 B2）/4です。

後者の式は、B2 < V/2 の場合にのみ正になります。ただし、その場合、#3 の式は #2 の式よりも大きくなります。つまり、他の入札者よりもわずかに高い金額で入札する方が常に有利です。つまり、対称的な均衡は存在しないということです。

この結果は、常に SBNE が存在するプライベートバリューの場合とは対照的です (第一価格密封入札オークションを参照)。

以下の例は^{[3]に基づいています。47–50}

ある物体の2番目の価格の密封入札オークションに2人の入札者が参加しています。各入札者は信号を受け取ります。信号は独立しており、 [0,1]の連続一様分布を持ちます。評価は次のようになります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{i}}$

${\displaystyle v_{i}=a\cdot s_{i}+b\cdot s_{-i}}$

ここで、は定数です (はプライベート値、 は共通値を意味します)。 ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a=1,b=0}$${\displaystyle a=b}$

ここでは、各プレイヤーが入札する固有の SBNE があります。

${\displaystyle b(s_{i})=(a+b)\cdot s_{i}}$

この結果は、SBNE では各プレイヤーが自分の価値を正直に入札するプライベート価値の場合とは対照的です (第 2 価格密封入札オークションを参照)。

この例は、イギリスのオークションにおけるジャンプ入札の説明として提案されている^{[4] ：188-190}。

2 人の入札者、ゼニアとヤコフが 1 つの品物のオークションに参加します。評価は、区間 [0,36] の 連続一様分布から抽出された 3 つの独立したランダム変数 AB と C に依存します。

• ゼニアは見る;${\displaystyle X:=A+B}$
• ヤコフは見る;${\displaystyle Y:=B+C}$
• アイテムの共通値は です。${\displaystyle V:=(X+Y)/2=(A+2B+C)/2}$

以下では、いくつかのオークション形式を検討し、それぞれにおける SBNE を見つけます。簡単にするために、各入札者が自分のシグナルを 倍入札する SBNE を探します。Xenia は を入札し、Yakov は を入札します。それぞれの場合における の値を見つけようとします。${\displaystyle r}$${\displaystyle r\cdot X}$${\displaystyle r\cdot Y}$${\displaystyle r}$

密封入札の2番目の価格オークションでは、 の SBNE が存在します。つまり、各入札者は自分のシグナルとまったく同じ金額で入札します。 ${\displaystyle r=1}$

証明: 証明は、Xenia の視点から行われます。彼女は Yakov が を入札することは知っているが、 は知らないと仮定します。Yakov の戦略に対する Xenia の最善の応答を見つけます。Xenia が を入札すると仮定します。2 つのケースがあります。 ${\displaystyle rY}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z\geq rY}$. その後、Xenia が勝利し、純利益 を享受します。${\displaystyle V-rY=(X+Y-2rY)/2}$
• ${\displaystyle Z<rY}$すると、Xenia は負けとなり、純利益は 0 になります。

全体として、Xenia の期待されるゲイン (信号 X を考慮) は次のようになります。

${\displaystyle \int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2rY \over 2}\cdot f(Y|X)dY}$

ここで、X が与えられたときの Y の条件付き確率密度です。 ${\displaystyle f(Y|X)}$

微積分学の基本定理により、この式の Z の関数としての導関数は です。 のとき、これは 0 になります。したがって、Xenia の最善の応答は を入札することです。 ${\displaystyle {1 \over r}{X+Z/r-2Z \over 2}\cdot f(Z/r|X)}$${\displaystyle X=2Z-Z/r}$${\displaystyle Z={rX \over 2r-1}}$

対称的な BNE では、Xenia は を入札します。後者の 2 つの式を比較すると、 であることがわかります。 ${\displaystyle Z=rX}$${\displaystyle r=1}$

予想される競売人の収入は次のとおりです。

${\displaystyle =E[\min(X,Y)]=E[B+\min(A,C)]}$

${\displaystyle =E[B]+E[\min(A,C)]}$

${\displaystyle =18+12=30}$

日本のオークションでは、情報は入札者の1人が退場したときにのみ明らかにされるため、結果はセカンドプライスオークション^[4]と同じになりますが、この場合、オークションは終了しています。したがって、各入札者は自分の観察で退場します。

上記の例では、第一価格密封入札オークションでは、 の SBNE があり、つまり、各入札者は自分のシグナルの 2/3 を入札します。 ${\displaystyle r=2/3}$

証明: 証明は、Xenia の視点から行われます。彼女は Yakov が を入札することは知っているが、 は知らないと仮定します。Yakov の戦略に対する Xenia の最善の応答を見つけます。Xenia が を入札すると仮定します。2 つのケースがあります。 ${\displaystyle rY}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z\geq rY}$. その後、Xenia が勝利し、純利益 を享受します。${\displaystyle V-Z=(X+Y-2Z)/2}$
• ${\displaystyle Z<rY}$すると、Xenia は負けとなり、純利益は 0 になります。

全体として、Xenia の期待利益 (シグナル X と入札 Z を考慮) は次のようになります。

${\displaystyle G(X,Z)=\int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2Z \over 2}\cdot f(Y|X)dY}$

ここで、X が与えられたときの Y の条件付き確率密度です。 ${\displaystyle f(Y|X)}$

なので、Y の条件付き確率密度は次のようになります。 ${\displaystyle Y=X+C-A}$

• ${\displaystyle f(Y|X)=Y-(X-1)}$いつ${\displaystyle X-1\leq Y\leq X}$
• ${\displaystyle f(Y|X)=(X+1)-Y}$いつ${\displaystyle X\leq Y\leq X+1}$

これを上記の式に代入すると、Xenia のゲインは次のようになります。

${\displaystyle G(X,Z)={1 \over r^{3}}(XZ^{2}r/2+Z^{3}/3-Z^{3}r)}$

これは のときに最大になります。しかし、対称 BNE が必要なので、 も必要です。これら 2 つの等式を合わせると となります。 ${\displaystyle Z={rX \over 3r-1}}$${\displaystyle Z=rX}$${\displaystyle r=2/3}$

予想される競売人の収入は次のとおりです。

${\displaystyle =E[\max(fX,fY)]=(2/3)E[B+\max(A,C)]}$

${\displaystyle =(2/3)(E[B]+E[\max(A,C)])}$

${\displaystyle =(2/3)(18+24)=28}$

ここでは、収益等価原則が成立しないことに注意してください。つまり、オークション主催者の収益は、第 1 価格オークションでは第 2 価格オークションよりも低くなります (収益等価原則は、値が独立している場合にのみ成立します)。

共通価値オークションは、ベルトラン競争に似ています。ここでは、企業が入札者で、消費者が競売人です。企業は、商品の真の価値までの価格を「入札」しますが、それを超えません。企業間の競争により、利益が生まれます。企業の数は、オークション プロセスが価格を真の価値に近づけるかどうかに影響します。企業数が少ない場合、共謀の可能性があります。独占、寡占を参照してください。