収益の等価性

収益の等価性はオークション理論における概念であり、特定の条件が与えられた場合、同じ結果をもたらすメカニズム（つまり、同じ入札者にアイテムを割り当てるメカニズム）は、同じ期待収益も持つというものです。

考えられる結果はいくつかあります。 ${\displaystyle X}$

エージェントには、結果ごとに異なる評価を持つものがあります。エージェントの評価(「タイプ」とも呼ばれます) は、関数として表されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle v_{i}:X\longrightarrow R_{\geq 0}}$

これは、各選択肢の価値を金銭的に表したものです。

エージェントは準線形効用関数を持ちます。つまり、結果がであり、さらにエージェントが支払い（正または負）を受け取る場合、エージェントの総効用は次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}}$

すべての価値関数のベクトルは で表されます。 ${\displaystyle v}$

すべてのエージェント について、他のエージェントのすべての価値関数のベクトルは で表されます。つまり です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{-i}}$${\displaystyle v\equiv (v_{i},v_{-i})}$

メカニズムとは、次の機能のペアです。

• 値ベクトルを入力として受け取り、結果を返す関数（社会的選択関数とも呼ばれます）。${\displaystyle Outcome}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x\in X}$
• 値ベクトルを入力として受け取り 、各プレイヤーが受け取るべき金額を決定する支払いベクトルを返す関数(負の支払いは、プレイヤーが正の金額を支払う必要があることを意味します)。${\displaystyle Payment}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n})}$

エージェントのタイプは、独立して同一に分布するランダム変数です。したがって、メカニズムは、プレイヤーの戦略が、そのプレイヤーの真のタイプの関数として報告されたタイプとなるベイジアン ゲームを誘導します。すべてのプレイヤーが自分の真のタイプを報告するベイジアン ナッシュ均衡がある場合、メカニズムはベイジアン ナッシュの誘因に適合していると言われます。

これらの仮定の下では、収益等価定理は次のように述べている。^{[1] : 236–237}

任意の 2 つのベイジアン-ナッシュインセンティブ互換メカニズムについて、次のことが成り立つ場合:

• どちらのメカニズムでも機能は同じです。${\displaystyle Outcome}$
• あるタイプのプレイヤーについては、プレイヤーの期待支払額（他のプレイヤーのタイプを平均したもの）は両方のメカニズムで同じです。${\displaystyle v_{i}^{0}}$${\displaystyle i}$
• 各プレイヤーの評価はパス接続された集合から抽出され、

それから：

• すべてのタイプの予想支払額は両方のメカニズムで同じであるため、次のようになります。
• 期待収益（支払いの合計）はどちらのメカニズムでも同じです。

典型的な例としては、オークション メカニズムのペア、つまりファースト プライス オークションとセカンド プライス オークションがあります。ファースト プライス オークションには、ベイジアン ナッシュ インセンティブ互換の変種があります。セカンド プライス オークションは、ベイジアン ナッシュ インセンティブ互換よりもさらに強力な、支配戦略インセンティブ互換です。2 つのメカニズムは、次の理由により定理の条件を満たしています。

• どちらのメカニズムでも機能は同じです。最高額の入札者が商品を獲得します。${\displaystyle Outcome}$
• アイテムの価値を 0 と評価するプレイヤーは、どちらのメカニズムでも常に 0 を支払います。

実際、各プレイヤーの予想支払額は両方のオークションで同じであり、競売人の収益も同じです。詳細については、 第一価格密封入札オークションのページを参照してください。

実際、収益等価性を使用して、多くの種類のオークションが収益等価であることを証明できます。たとえば、入札者が対称である場合 (つまり、入札者の評価が独立しており、同一に分布している場合)、ファースト プライス オークション、セカンド プライス オークション、およびオール ペイ オークションはすべて収益等価です。

最高入札額を提示したプレイヤーが 2 番目に高い入札額を支払う、2 番目の価格の単品オークションを考えます。各プレイヤーが自分の値で入札するのが最適です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle b_{i}=v_{i}}$

がオークションに勝ち、2 番目に高い入札額、つまり を支払ったとします。このオークションからの収益は単純に です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$

最高額入札したプレイヤーが単純に入札額を支払うファーストプライスオークションでは、すべてのプレイヤーが入札関数を使用して入札すると、これはナッシュ均衡になります。 ${\displaystyle b(v)=E(\max _{j\neq i}v_{j}~|~v_{j}\leq v~\forall ~j),}$

言い換えれば、各プレイヤーが、自分の入札額が最高額であると仮定して、2 番目に高い入札額の期待値で入札した場合、どのプレイヤーもそれとは異なる入札をする動機はありません。これが真実であれば、オークションに勝った場合のこのオークションからの期待収益も、同じであることが簡単にわかります。 ${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$${\displaystyle i}$

これを証明するには、プレイヤー 1 がのところで入札し、その値がではなく であると効果的にブラフしていると仮定します。プレイヤーの期待される利益が最大化される の値を見つけたいのです。 ${\displaystyle b(z)}$${\displaystyle z<v}$${\displaystyle z}$${\displaystyle v}$${\displaystyle z}$

勝つ確率は です。この入札の予想コストは です。プレイヤーの予想利益は ${\displaystyle Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)}$${\displaystyle E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i)}$

${\displaystyle Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)(v-E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i))}$

をランダム変数 とする。すると、上記は次のように書き直すことができる。${\displaystyle X=\max _{i>1}v_{i}}$

${\displaystyle Pr(X<z)(v-E(X~|X\leq z))}$。

という一般的な事実を用いると、上記は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle E(X~|~X\leq z)\cdot Pr(X<z)=\int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy}$

${\displaystyle Pr(X<z)\cdot v-Pr(X<z)\cdot z+\int _{0}^{z}Pr(X<y)dy}$。

について微分すると、 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Pr(X<z)'(v-z)=0\Rightarrow v=z}$。

したがって、自分の価値で入札すると、プレイヤーの期待される利益が最大化されます。は単調増加なので、これが実際に最大点であることが確認できます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle Pr(X<z)}$

公開オークション（別名イングリッシュオークション）では、買い手の主な戦略は、提示価格が自分の価値と等しくなるまでオークションに残ることです。その後、最後に残った人が勝者となり、2番目に高い入札額を支払います。

2人の買い手がいて、それぞれがサポート[0,1]の分布、累積分布関数F(v)、確率密度関数f(v)から独立して値を取るケースを考えてみましょう。買い手が優勢戦略に従って行動する場合、相手の価値xが低ければ、価値vを持つ買い手が勝ちます。したがって、彼の勝利確率は

${\displaystyle w=\Pr\{x<v\}\equiv F(v)}$

そして彼の予想支払額は

${\displaystyle C(v)=\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}$

したがって、勝利を条件とした予想支払額は

${\displaystyle e(v)={\frac {C(v)}{F(v)}}={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}{F(v)}}}$

両辺にF(v)を掛けてvで微分すると、e(v)について次の微分方程式が得られます。

${\displaystyle {e}'(v)F(v)+e(v)f(v)=vf(v)}$。

この式を変形すると、

${\displaystyle {e}'(v)={\frac {f(v)}{F(v)}}(v-e(v))}$

B(v) を封印された第一価格オークションにおける均衡入札関数とします。B(v)=e(v)、つまり、1 つのオークションの勝者の均衡支払額が、他のオークションの勝者の均衡予想支払額に等しいことを示すことによって、収益の等価性を確立します。

買い手が価値vを持ち、bで入札するとします。相手は均衡入札戦略に従って入札します。相手の入札分布のサポートは[0,B(1)]です。したがって、少なくともB(1)の入札は確率1で勝ちます。したがって、最高の入札bは区間[0,B(1)]にあり、この入札はb = B(x)と書くことができます。ここで、xは[0,1]にあります。相手が価値yを持っている場合、B(y)で入札します。したがって、勝つ確率は

${\displaystyle w=\Pr\{b<B(y)\}=\Pr\{B(x)<B(y)\}=\Pr\{x<y\}=F(v)}$。

買い手の期待利益は、勝率に勝った場合の純利益を掛け合わせたものであり、つまり、

${\displaystyle U=w(v-B(x))=F(x)(v-B(x))}$。

微分すると、最大値を得るための必要条件は

${\displaystyle {U}'(x)=f(x)(v-B(x))-F(x){B}'(x)=F(x)\left({\frac {f(x)}{F(x)}}(v-B(x))-{B}'(x)\right)=0}$。

つまり、B(x)が買い手の最良の反応である場合、この第一条件を満たす必要があります。最後に、B(v)が均衡入札関数であるためには、買い手の最良の反応はB(v)でなければならないことに注意します。したがって、x=vです。必要条件にxを代入すると、

${\displaystyle {\frac {f(v)}{F(v)}}(v-B(v))-{B}'(v)=0}$。

この微分方程式はe(v)の微分方程式と同一であることに注意してください。e(0)=B(0)=0なので、 となります。 ${\displaystyle B(v)=e(v)}$

収益等価性を使用して、ゲーム内のプレイヤーの入札関数を予測できます。各プレイヤーの価値がから均一に引き出される、2 番目の価格オークションと 1 番目の価格オークションの 2 人のプレイヤー バージョンを考えてみましょう。 ${\displaystyle [0,1]}$

セカンドプライスオークションでの最初のプレーヤーの予想支払額は次のように計算できます。

${\displaystyle E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})}$

プレイヤーは第2価格オークションで正直に入札するので、すべての価格をプレイヤーの価値に置き換えることができます。プレイヤー1が勝った場合、プレイヤー2が入札した金額、つまり を支払います。プレイヤー1自身が を入札します。プレイヤー1が負けた場合の支払いはゼロなので、上記は ${\displaystyle p_{2}=v_{2}}$${\displaystyle p_{1}=v_{1}}$

${\displaystyle E(v_{2}~|~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0}$

一様分布から来ているので、これを次のように簡略化できる。 ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$

${\displaystyle {\frac {v_{1}}{2}}\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

収益等価性を使用して、ファースト プライス オークションで正しい対称入札関数を生成できます。ファースト プライス オークションでは、各プレーヤーが入札関数 を持っていると仮定します。この時点では、この関数は不明です。 ${\displaystyle b(v)}$

このゲームにおけるプレイヤー1の期待支払額は

${\displaystyle E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})}$（上記と同じ）

さて、プレイヤーは入札額を支払うだけで、より高い価値を持つプレイヤーが勝つと仮定しましょう。つまり、勝つ確率は、セカンドプライスオークションの場合と同様に、プレイヤーの価値に等しいということです。この仮定が正しいことは後で示します。繰り返しますが、オークションに負けた場合、プレイヤーは何も支払いません。すると、

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}+0}$

収益等価原則により、この式は上で計算したセカンドプライスオークションの収益と等しくなります。

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

このことから、入札関数を推測することができます。

${\displaystyle b(v_{1})={\frac {v_{1}}{2}}}$

この入札関数では、より高い値を持つプレイヤーが依然として勝つことに注意してください。他のすべてのプレイヤーがこの入札関数を使用して入札している場合、プレイヤーが入札を最大化する方法を考えることによって、これが正しい均衡入札関数であることを別の方法で示すことができます。ファーストプライス密封入札オークションのページを参照してください。

同様に、第2価格オークションにおけるプレイヤー1の期待支払額は であり、これはオールペイオークションにおける期待支払額 と等しくなければならないことが分かっています。つまり、 ${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})}$

したがって、オールペイオークションにおける各プレイヤーの入札関数は${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$

この定理の重要な意味は、無条件に最高入札者に品物を与える単品オークションは、期待収益が同じになるということです。つまり、競売人の収益を増やしたい場合、結果関数を変更する必要があります。これを行う 1 つの方法は、品物に予約価格を設定することです。これにより、品物が必ずしも最高入札者に与えられるとは限らないため、結果関数が変更されます。予約価格を慎重に選択することで、競売人は大幅に高い期待収益を得ることができます。^{[1] : 237}

収益等価定理はいくつかの重要なケースで破綻する: ^{[1] : 238–239}

• 上で想定したように、プレーヤーがリスク中立ではなくリスク回避的である場合。この場合、ファーストプライスオークションはセカンドプライスオークションよりも多くの収益を生み出すことが知られています。
• プレイヤーの評価が相互に依存している場合、たとえば、評価が入札者に部分的にしか知られていない世界の状態に依存する場合（これは勝者の呪いに関連しています）。このシナリオでは、入札者が他のプレイヤーの入札から情報を得ることができるため、イングリッシュオークションはセカンドプライスオークションよりも多くの収益を生み出します。

• ハートライン、ジェイソン、経済設計における近似(PDF)。