平面における組合せ幾何学

エベネの組み合わせ幾何学

著者	ヒューゴ・ハドヴィガー、ハンス・デブルンナー
翻訳者	ヴィクトル・クレー
言語	ドイツ語
主題	離散幾何学
出版社	ジュネーブ大学
発行日	1960

『平面における組合せ幾何学』は離散幾何学の本である。これはドイツ語の本『エベーネにおける組合せ幾何学』から翻訳されたものであり、著者のヒューゴ・ハドヴィガーとハンス・デブルンナーは1960年にジュネーヴ大学を通じて出版した。これはハドヴィガーが1955年に数学の入門書として発表した調査論文を拡張したものである。 ^[1] ヴィクトール・クレーはこれを英訳し、新しい資料の章を加えた。これは1964年にホルト、ライナーハート、ウィンストン社から出版され、 ^[2] 1966年にドーバー出版から再出版された。 ^[3]クレーによる新しい資料の概要を含むロシア語版Комбинаторная геометрия плоскости^{が、IM Jaglom によって翻訳され、1965 年に Nauka によって出版されました。 [4]}米国数学協会の基本図書館リスト委員会は、これを学部の数学図書館に含めることを推奨しました。 ^[3]

この本の前半では、ユークリッド平面の離散幾何学における約100の命題が述べられており、後半ではその証明が概説されている。前半と後半の間にあるクレーの追加章では、さらに10の命題が示されており、その中には高次元への一般化も含まれている。そして、本の最後は詳細な参考文献で締めくくられている。^[5]

この本で取り上げられている離散幾何学の結果には、次のものが含まれます。

• 平面集合の凸包内のあらゆる点は、集合の3点で決まる三角形に属するというカラテオドリの定理と、凸包の内部にあるあらゆる点は、集合の4点の凸包の内部にあるというシュタイニッツの定理。^[3]
• エルデシュ・アニングの定理は、平面上の無限の点の集合が2点間の距離を整数に保っている場合、与えられた点はすべて1本の直線上になければならないというものである。^[3]
• ヘリーの定理、コンパクト 凸集合の族がすべての三つ組の集合に対して空でない共通部分を持つ場合、その族全体に空でない共通部分が存在するという定理。^[3]
• ヘリーのアートギャラリー定理に関連する可視性の特性: 多角形内の共通点から多角形のすべての3つの点が見える場合、多角形全体が見える点が存在します。この場合、多角形は星型多角形でなければなりません。^[1]
• 閉じた平行四辺形をその内部の3つの平行移動コピーで覆うことは不可能であり、他のすべてのコンパクトな凸集合はこの方法で覆うことができるという事実。^[1]
• ユングの定理によれば、（平面上の集合に対して）最小の円の半径は最大で直径の倍である。この制限は正三角形に対して厳密である。^[3]${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$
• 集合をより小さな集合に分解することのパラドックス。バナッハ＝タルスキーのパラドックスに関連する。^[1]
• ラドンの定理は、平面上の4つの点はすべて交差する凸包を持つ2つの部分集合に分割できるというものである。^[3]
• 三角形分割の彩色に関するスペルナーの補題^[1]
• シルベスター・ガレーの定理は、平面上の有限の点の集合が、その2つの点を通るすべての直線にその集合の3番目の点が含まれるという性質を持つ場合、与えられた点はすべて1本の直線上になければならないというものである。^[3]
• タルスキのプランク問題、すなわち、2つの無限ストリップがコンパクトな凸集合を覆うとき、それらの合計幅は、その集合を単独で覆う最も狭いストリップの幅と少なくとも同じ大きさであるという形式である。^{[1] [3]}
• 線が2つの閉じた部分集合で覆われているときは、その2つの部分集合の少なくとも1つには、あらゆる可能な距離にある点のペアが存在します。^[1]

また、組合せ論に属しながらも本質的に幾何学的ではないトピックもいくつか含まれており、^[1]次のようなものがあります。

• ホールの結婚定理は、完全マッチングを持つ二部グラフを特徴付ける。^[3]
• ラムゼーの定理は、無限の点の集合からの点の組に有限の数の色が割り当てられている場合、無限の部分集合には1つの色の組のみが含まれるというものである。^[3]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

この本は数学の学部生に適したレベルで書かれており、実解析と学部レベルの幾何学の背景知識を前提としています。^[6]この本の目的の1つは、このレベルの学生に、簡単に説明できる数学の研究レベルの問題を理解させることです。^[2]