コーンの既約基準

コーンの既約性基準は、多項式がにおいて既約であるための十分な条件です。つまり、多項式が整数係数を持つ低次多項式の積に因数分解できないためです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

基準は次のように述べられることが多いです。

素数が 10進数で（ただし）と表される場合、多項式 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{1}10+a_{0}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq 9}$

${\displaystyle f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

は では既約ではない。^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

この定理は次のように他の基底にも一般化できます。

が自然数であり、となる多項式であると仮定する。 が素数であれば はにおいて既約である。^[1]${\displaystyle b\geq 2}$${\displaystyle p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b-1}$${\displaystyle p(b)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

この定理の基数10版は、PólyaとSzegőが著書『解析学における問題と定理』の中でコーンに帰属させている^{[2]一方、任意の基数}bへの一般化はBrillhart、Filaseta、Odlyzkoによるものである^[3]。文脈から、PolyaとSzegőが言及している「A. Cohn」は、 Issai Schurの弟子で、1921年にフレデリック・ウィリアム大学から博士号を取得したArthur Cohn (1894–1940) であることは明らかである^{[4] [5] 。}

桁数より大きい係数を許容する定理のさらなる一般化は、フィラセタとグロスによって与えられた。^[6]特に、が素数となるような非負整数係数を持つ多項式としよう。すべての係数が 49598666989151226098104244512918 であれば、 はに対して既約である。さらに、彼らはこの境界も鋭いことを証明した。言い換えれば、49598666989151226098104244512918 より大きい係数は既約性を保証しない。フィラセタとグロスの方法は、コール、ダン、フィラセタによって他の基数に対しても同様に鋭い境界を与えるように一般化された。^[7]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(10)}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

この定理の類似は有限体上の代数関数体に対しても成り立つ。^[1]

この基準の逆は、p が最大公約数が1である整数係数を持つ既約多項式である場合、 pの係数がその基数で素数の表現を形成するような基数が存在するというものです。これはブニャコフスキー予想であり、その真偽は未解決の問題です。^[1]

• エイゼンシュタインの基準
• ペロンの既約基準

• 「A. コーンの既約性基準」。PlanetMath。