円形アンサンブル

ランダム行列の理論において、円形アンサンブルは、フリーマン・ダイソンがガウス行列アンサンブルの修正として導入したユニタリ行列の空間上の測度である。^[1] 3つの主な例としては、対称ユニタリ行列上の円形直交アンサンブル（COE）、ユニタリ行列上の円形ユニタリアンサンブル（CUE）、および自己双対ユニタリ四元数行列上の円形シンプレクティックアンサンブル（CSE）がある。

ユニタリ円集合CUE( n )の分布は、ユニタリ群U(n)上のハール測度である。UがCUE( n )のランダム元であれば、U ^T UはCOE( n )のランダム元である。UがCUE( 2n )のランダム元であれば、U R Uは^CSE ( n )のランダム元である。ここで

${\displaystyle U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&\\&&&0&-1&&&\\&&&1&0&&\\&&&\ddots &&\\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&&0&1&&&\\&&&-1&0&&&&\\&&&&\\&&&-1&0&&&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.}$

円形アンサンブルの各要素はユニタリ行列であるため、単位円上に固有値を持ちます。k =1,2,... nに対してとなり、 は固有角または固有位相とも呼ばれます。CSE では、これらのn個の固有値はそれぞれ 2 回出現します。分布は、固有角に関する 密度を持ち、次のように表されます。${\displaystyle \lambda_{k}=e^{i\theta_{k}}}$${\displaystyle 0\leq \theta _{k}<2\pi }$${\displaystyle \theta_{k}}$

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~}$

（対称化バージョン）で、COEの場合はβ=1、CUEの場合はβ=2、CSEの場合はβ=4です。正規化定数Z _n,βは次のように与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}}$

${\displaystyle Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,}$

これは、セルバーグの積分公式、またはコンパクトリー群のワイルの積分公式 によって検証できます。

円集合の一般化は、 Uの行列要素を実数（U が直交群 O(n)に属するように）または実四元数（ U がシンプレクティック群 Sp(2n)に属するように）に制限します。直交群上のハール測度は円実集合（CRE）を生成し、シンプレクティック群上のハール測度は円四元数集合（CQE）を生成します。

直交行列の固有値は複素共役ペアとで表され、+1または-1に固定された固有値によって補完される可能性がある。n=2mの偶数およびdet U=1の場合、固定された固有値は存在せず、位相θ _{k は}確率分布に従う^[2]${\displaystyle e^{i\theta _{k}}}$${\displaystyle e^{-i\theta _{k}}}$

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}$

Cは不特定の正規化定数である。n =2m+1の奇数の場合、1つの固定された固有値σ=det Uが±1に等しい。位相は分布に従う。

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

n=2m+2の偶数とdet U=-1の場合には、 +1と-1に固定された固有値のペアがあり、位相は分布を持つ。

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

これはSp(2m)の行列の固有値の分布でもあります。

これらの確率密度関数は、相関関数がヤコビ多項式で表現できるため、ランダム行列理論ではヤコビ分布と呼ばれます。

円形アンサンブル内の行列要素の積の平均は、ワインガルテン関数を使用して計算できます。行列の次元が大きい場合、これらの計算は非現実的になり、数値的方法が有利になります。円形アンサンブルでランダム行列を生成するための効率的なアルゴリズムが存在します。たとえば、ジニブレ行列のQR分解を実行します。 ^[3]

• 「Wolfram Mathematica 円形アンサンブル」。Wolfram Language。
• Suezen, Mehmet (2017). 「Bristol: ランダム マトリックス アンサンブル用の Python パッケージ (円形アンサンブル生成の並列実装)」. doi :10.5281/zenodo.579642.
  • 「Bristol: ランダム マトリックス アンサンブル用の Python パッケージ」。pypi。

• Mehta, Madan Lal (2004)、ランダム行列、純粋および応用数学 (アムステルダム)、第 142 巻 (第 3 版)、Elsevier/Academic Press、アムステルダム、ISBN 978-0-12-088409-4、MR  2129906
• フォレスター、ピーター J. (2010)、対数ガスとランダム行列、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-12829-0