チョウラ・セルバーグ式

数学において、チョウラ・セルバーグの公式は、ガンマ関数の有理値における値の積を、デデキントのイータ関数の虚数2次無理数における値で評価するものである。この結果は、基本的にレルヒ （1897）によって発見され、チョウラとセルバーグ （1949、1967）によって再発見された。

対数形式では、Chowla-Selbergの公式は、特定のケースでは合計が

${\displaystyle {\frac {w}{4}}\sum _{r}\chi (r)\log \Gamma \left({\frac {r}{D}}\right)={\frac {h}{2}}\log(4\pi {\sqrt {|D|}})+\sum _{\tau }\log \left({\sqrt {\Im (\tau )}}|\eta (\tau )|^{2}\right)}$

はクロネッカー極限公式を用いて評価できる。ここで χ はD を法とする平方剰余記号であり、−Dは虚数二次体の判別式である。和は 0 < r < Dにわたってとられ、 rとD が共通因数を持つ場合は通常の慣例に従って χ( r ) = 0 となる。関数 η はデデキントのイータ関数であり、hは類数、w は1 の根の数である。

このような公式の起源は、複素乗法の理論、特にCM型アーベル多様体の周期の理論にあることが現在では分かっています。これにより、多くの研究と一般化が行われました。特に、p進数に対するChowla-Selberg公式の類似物として、p進ガンマ関数を含むGross-Koblitz公式があります。

チョウラ・セルバーグの公式は、イータ関数の値の有限積の公式を与える。これを複素乗法の理論と組み合わせると、イータ関数の個々の絶対値の公式を与えることができる。

${\displaystyle \Im (\tau )|\eta (\tau )|^{4}={\frac {\alpha }{4\pi {\sqrt {|D|}}}}\prod _{r} \ガンマ (r/|D|)^{\chi (r){\frac {w}{2h}}}}$

ある代数的数αに対して。

ガンマ関数に オイラーの反射公式を使用すると次のようになります。

• ${\displaystyle \eta (i)=2^{-1}\pi ^{-3/4}\Gamma ({\tfrac {1}{4}})}$

• 乗法定理

• Chowla, S.; Selberg, Atle (1949)、「エプスタインのゼータ関数について。I」、米国科学アカデミー紀要、35 (7): 371–374、Bibcode :1949PNAS...35..371C、doi : 10.1073/pnas.35.7.371、ISSN  0027-8424、JSTOR  88112、MR  0030997、PMC  1063041、PMID  16588908
• チョウラ、サルバダマン。Selberg、Atle (1967)、「エプスタインのゼータ関数について」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1967 (227): 86–110、doi :10.1515/crll.1967.227.86、MR  0215797、S2CID  201060556
• Lerch、Mathias (1897)、「Sur quelques 公式の相対的な名前」、Bulletin des Sciences Mathématiques、21 : 290–304
• Schappacher, Norbert (1988)、「Hecke Characters の周期」、数学講義ノート、第 1301 巻、ベルリン: Springer-Verlag、doi :10.1007/BFb0082094、ISBN 978-3-540-18915-2、MR  0935127