チェザロ総括

数学解析において、チェザロ和は、通常の意味で必ずしも収束するとは限らないいくつかの無限和に値を割り当てます。チェザロ和は、チェザロ平均^{[ 1 ] [ 2 ]}またはチェザロ極限^{[ 3 ]}とも呼ばれ、級数の最初のn個の部分和の算術平均の列の、 nが無限大に近づくときの極限として定義されます。

この行列の総和法の特殊なケースは、イタリアの解析学者エルネスト・チェザーロ（1859年～1906年）にちなんで名付けられました。

総和という用語は誤解を招く可能性があり、チェザロの総和に関するいくつかの記述や証明は、アイレンベルク＝マズールの詐欺に関係していると言える。例えば、グランディの級数に総和を適用して、その級数の和が1/2であるという結論に至ることがよくある。

させて$\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$を数列とし、

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

そのk番目の部分和とする。

数列( a _n )はチェザロ総和可能と呼ばれ、チェザロ総和A ∈${\displaystyle \mathbb {R} }$nが無限大に近づくとき、最初のn個の部分和s ₁、s ₂、 ...、s _{n の}算術平均がAに近づく場合:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

結果として得られる極限の値は、級数のチェザロ和と呼ばれる。${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$ この級数が収束する場合、それはチェザロ総和可能であり、そのチェザロ和は通常の和となる。

1890年、エルネスト・チェザロは、非負整数αに対して(C, α )と呼ばれる、より広範な総和法を提唱した。(C, 0)法は通常の総和であり、(C, 1)は上述のチェザロ総和である。

高次の方法は次のように説明できます。数列Σ a _nが与えられたとき、量を定義します。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}$

（上付き添え字は指数を表しません）そして、数列1 + 0 + 0 + 0 + ...に対してE ^α _nをA ^α _nと定義します。すると、Σ a _nの(C, α )和は(C, α )-Σ a _nと表され、その値は次のようになります。

${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

存在する場合（Shawyer & Watson 1994 、pp.16-17）。この記述は、初期加算法のα回反復適用を表しており、次のように言い換えることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\left(n-j+1\right)_{\alpha }}{\left(n+1\right)_{\alpha }}}a_{j}{\text{.}}\end{aligned}}}$

さらに一般的には、α ∈${\displaystyle \mathbb {R} }$\${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁻、 A ^α _{n は}級数の係数によって暗黙的に与えられるもの

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

そして、E ^α _{n は}上記のとおりです。特に、E ^α _nは−1 − αの二項係数です。すると、Σ a _nの(C, α )和は上記のように定義されます。

Σ a _{n が}(C, α )和を持つ場合、すべてのβ > αに対して(C, β )和も持ち、和は一致します。さらに、 α > −1の場合、 a _n = o ( n ^α )となります(小文字のo表記を参照)。

α ≥ 0とする。積分${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$(C, α )は、

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}$

は存在し、有限である（Titchmarsh 1948 、§1.15）。この極限が存在する場合、その値は積分の（C、α）和である。級数の和の場合と同様に、 α = 0の場合、結果は広義積分の収束となる。α = 1の場合、（C、1）収束は極限の存在と同等である。

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}$

これは部分積分の平均値の極限である。

級数の場合と同様に、あるα ≥ 0の値に対して積分が(C, α )総和可能であれば、すべてのβ > αに対しても(C, β )総和可能であり、結果として得られる極限値は同じになります。