中央群状体

抽象代数学 において、中心群は二項演算によって定義される代数構造である。${\displaystyle \cdot }$方程式を満たす要素の集合について $${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b.}$$ これらの構造は、中心有向グラフ（すべての2つの頂点間にちょうど1つの2辺パスを持つ有向グラフ）および（有限中心群の場合）すべての要素が1である行列の2乗である（0,1）行列への全単射を持ちます。

例えば、この操作は${\displaystyle \cdot }$ユークリッド平面上の点について、それらのデカルト座標を再結合して定義される。 $${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(y_{1},x_{2})}$$は中心群です。同じタイプの再結合によって、任意の集合の要素の順序対上の中心群が定義され、これを自然中心群と呼びます。

単一の二項演算を持つ代数構造として、中心群は特殊なマグマまたは群です。中心群は等式によって定義されるため、自由オブジェクトが自由中心群と呼ばれる様々な代数を形成します。自由中心群は無限であり、冪等元を持ちません。有限集合上の自然中心群を含む有限中心群は常に平方数の要素を持ち、その平方根は冪等元数です。

中心群は、要素の集合と二項演算から構成される。${\displaystyle \cdot }$この集合上で、次の式を満たす $${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$$ すべての要素について${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$[ ^{1 ]​}

中心群は、中心有向グラフを用いて同等に定義できる。中心有向グラフとは、各頂点の順序対（必ずしも異なるとは限らない）が3頂点有向ウォークの始点と終点となるようなグラフである。つまり、各${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$一意の頂点が存在しなければならない${\displaystyle w}$そのため${\displaystyle u\to w}$そして${\displaystyle w\to v}$は有向エッジである。任意の中央有向グラフから、次のような中央群を定義することができる。${\displaystyle u\cdot v=w}$各有向パスについて${\displaystyle u\to w\to v}$逆に、任意の中心群圏に対して、頂点の集合を群圏の要素とし、辺が存在するとすることで中心有向グラフを定義できる。${\displaystyle u\to w}$存在するときはいつでも${\displaystyle v}$と${\displaystyle u\cdot v=w}$[ ^{2 ]​}

中心群の3つ目の同等の定義は、(0,1)行列を含む。${\displaystyle M}$その特性により${\displaystyle M^{2}}$は1 の行列です。これらはまさに有限中心群を定義する有限グラフの有向隣接行列です。 ^{[ 2 ]}

• フレンドシップグラフとは、異なる2つの頂点がそれぞれ固有の3頂点パスの端点となる性質を持つ無向グラフである。
• 半中心二群体とは、2つの二項演算を持つ中心群体の一般化であり、1次元可逆セルオートマトンを特徴付けるために使用される。

• Kündgen, André; Leander, Gregor; Thomassen, Carsten (2011)、「中心有向グラフにおけるスイッチング、拡張、および縮小」、Journal of Combinatorial Theory, Series A、118 (7): 2025–2034、doi : 10.1016/j.jcta.2011.03.009、MR 2802184 

• Tao, Terence、Monticone, Pietro、Srinivas, Shreyas 編 (2025年6月1日)、「方程式168：中心群法則」、方程式理論プロジェクト、 2025年6月1日取得