九角数

九角数（きゅうかくすう、英: nonominal number ）は、三角形や正方形の数の概念を九角形（9つの辺を持つ多角形）に拡張した図形数である。 ^[1]しかし、三角数や正方形数とは異なり、九角数の構成パターンは回転対称ではない。具体的には、n番目の九角数は、すべて共通の角を共有するn個のネストされた九角形のパターン内の点の数であり、パターン内のi番目の九角形の側面は、互いに1単位間隔で配置されたi個の点で構成されている。nの九角数は、次の式で与えられる。^[2]

${\displaystyle {\frac {n(7n-5)}{2}}}$。

最初のいくつかの九角数は次のとおりです。

0、1、9、24、46、75、111、154、204、261、325、396、474、559、651、750、856、969、1089、1216、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 1350、1491、1639、1794、1956、2125、2301、2484、2674、2871、3075、3286、3504、3729、3961、4200、4446、4699、​​​​​​​​​ ​4959、5226、5500、5781、6069、6364、6666、6975、7291、7614、7944、8281、8625、8976、9334、9699（OEISの配列A001106）。

九角数の偶奇性は、奇数-奇数-偶数-偶数のパターンに従います。

をn^番目の九角数とし、 n^番目の三角数の公式を用いると、 ${\displaystyle N_{n}}$${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

${\displaystyle 7N_{n}+3=T_{7n-3}}$。

${\displaystyle {\mathsf {Let}}~x={\frac {{\sqrt {56n+25}}+5}{14}}}$。

xが整数の場合、 n はx番目の九角数です。xが整数でない場合、n は九角数ではありません。

• 中心九角数