ジュリンの法則

ジュリンの法則、または毛細管上昇は、毛細管現象（小さなチャネル内の液体の誘導運動^[1]）の最も単純な解析であり、毛細管内の液体の最大高さは管の直径に反比例することを述べています。毛細管現象は、マイクロ流体工学の分野で研究されている最も一般的な流体力学効果の 1 つです。ジュリンの法則は、1718 年から 1719 年にかけてこの法則を発見したJames Jurinにちなんで名付けられました。 ^[2] 彼の定量的な法則は、毛細管内の液体の最大高さは管の直径に反比例することを示唆しています。管の周囲と内部の高さの差、およびメニスカスの形状は、毛細管現象によって引き起こされます。この法則の数学的表現は、静水力学の原理とヤング・ラプラス方程式から直接導き出すことができます。ジュリンの法則により、液体の表面張力の測定が可能になり、毛細管の長さを導き出すために使用できます。^[3]

この法律は次のように表現される^[要出典]

${\displaystyle \qquad h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho gr_{0}}}}$、

どこ

• hは液体の高さです。
• ${\displaystyle \gamma}$表面張力です。
• θ はチューブ壁に対する液体の接触角です。
• ρは質量密度（単位体積あたりの質量）です。
• r _{0 は}チューブの半径です。
• g は重力加速度です。

この法則は、管が円筒形で、半径（r ₀）が毛細管の長さ（）よりも小さい場合にのみ有効です。毛細管の長さに関して、この法則は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}=\gamma /(\rho g)}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr_{0}}{2\cos \theta }}}$。

空気中の水を満たしたガラス管の場合、 温度と圧力の標準条件では、20℃でγ = 0.0728 N/m 、 ρ = 1000 kg/m ³、g = 9.81 m/s ²です。水はきれいなガラス上で広がるため、有効平衡接触角はほぼゼロです。^[4]これらの値の場合、水柱の高さは

${\displaystyle h\approx {{1.48\times 10^{-5}} \over r_{0}}\ {\mbox{m}}.}$

したがって、上記の実験室条件では、半径 2 m (6.6 フィート) のガラス管の場合、水は目に見えないほどの 0.007 mm (0.00028 インチ) 上昇します。ただし、半径 2 cm (0.79 インチ) の管の場合、水は 0.7 mm (0.028 インチ) 上昇し、半径 0.2 mm (0.0079 インチ) の管の場合、水は 70 mm (2.8 インチ) 上昇します。

多くの植物は毛細管現象を利用して土壌から水を吸い上げます。背の高い木（高さ約10メートル（32フィート）以上）では、浸透圧や負圧などの他のプロセスも重要です。^[5]

15世紀、レオナルド・ダ・ヴィンチは、山の渓流は小さな毛細管現象による水位上昇によって形成されると最初に提唱した人物の一人でした。 ^{[3] [6]}

毛細管現象の起源に関する理論が生まれ始めたのは、17 世紀になってからのことです。ジャック・ロオールは、毛細管内の液体の上昇は、内部の空気の抑制と真空の生成によるものだと誤って推測しました。天文学者のジェミニアーノ・モンタナリは、毛細管現象を植物の樹液 の循環と比較した最初の人物の 1 人です。さらに、ジョヴァンニ・アルフォンソ・ボレッリの実験により、1670 年に上昇の高さは管の半径に反比例することが確認されました。

フランシス・ホークスビーは1713年に、空気中だけでなく真空中でも観測できる毛細管現象に関する一連の実験を通じてローオルトの理論を反駁した。ホークスビーはまた、液体の上昇はさまざまな形状（円形断面だけでなく）やさまざまな液体や管の材質で現れることを実証し、管壁の厚さには依存しないことを示した。アイザック・ニュートンは著書『光学』でホークスビーの実験を報告したが、出典は明記されていない。^{[3] [6]}

1718年に最終的にボレリの実験を確認したのはイギリスの生理学者ジェームズ・ジュリンでした^{[2] 。そしてこの法則は彼に敬意を表して名付けられました[3] [6] 。}

チューブ内の液柱の高さは、静水圧と表面張力によって制限されます。次の導出はチューブ内で上昇する液体に対するものです。反対に液体が基準レベルより下にある場合も導出は同様ですが、圧力差によって符号が変わる場合があります。^[1]${\displaystyle h}$

液体と表面の界面より上では、圧力は大気圧 に等しくなります。メニスカス界面では、表面張力により の圧力差が生じます。ここでは凸面側の圧力で、ラプラス圧力として知られています。チューブの断面が半径 の円形で、メニスカスが球形の場合、曲率半径は で 、ここで は接触角です。ラプラス圧力は、ヤング-ラプラス方程式に従って計算されます。ここで は表面張力です。 ${\displaystyle p_{\rm {atm}}}$${\displaystyle \Delta p=p_{\rm {atm}}-p_{\rm {int}}}$${\displaystyle p_{\rm {int}}}$${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle r=r_{0}/\cos \theta }$${\displaystyle \theta}$$${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{r}},}$$${\displaystyle \gamma}$

チューブの外側、チューブから離れた場所では、液体は大気と接触する地上レベルに達します。連通容器内の液体は同じ高さで同じ圧力を持つため、チューブの内側の点 は、外側と同じ液面にあり、同じ圧力 を持ちます。しかし、この点の圧力は、次のように 垂直方向の圧力変化に従います。${\displaystyle {\rm {w}}}$${\displaystyle p_{\rm {w}}=p_{\rm {atm}}}$

${\displaystyle p_{\rm {w}}=p_{\rm {int}}+\rho gh,}$

ここで、は重力加速度、は液体の密度です。この式は、点における圧力が界面の圧力と高さの液体柱の重さによる圧力の合計であることを意味します。このようにして、凸面界面の圧力を計算できます。${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\rm {w}}}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle p_{\rm {int}}=p_{\rm {w}}-\rho gh=p_{\rm {atm}}-\rho gh.}$$

静水圧解析では、であることが示されており、これをラプラス圧力計算と組み合わせると、を解くとジュリンの法則が返されます。 ${\displaystyle \Delta p=\rho gh}$$${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{r_{0}}},}$$${\displaystyle h}$