カントールの交差定理

カントールの交差定理は、ゲオルク・カントールにちなんで名付けられた、一般位相幾何学と実解析学における、空でないコンパクト集合の 減少する入れ子列の交差に関する2 つの密接に関連した定理を指します。

定理。 を 位相空間とする。 の空でないコンパクト閉部分集合の減少する入れ子列には、空でない共通集合が存在する。言い換えると、が S の空でないコンパクト閉部分集合の列であり、 を満たすと仮定する。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots ,}$

すると

${\displaystyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .}$

のすべてのコンパクト部分集合が閉じている状況、例えばがハウスドルフである場合、閉性条件は省略できます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

証明。矛盾を避けるために、 と仮定します。 各 に対して、とします。および なので、 が成り立ちます。 はに対して閉じており、したがって に対しても閉じているため、、 におけるそれらの補集合はに対して開いています。 ${\displaystyle {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset }$${\displaystyle k}$${\displaystyle U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}}$${\displaystyle {\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}\setminus {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k }}}$${\displaystyle {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset }$${\displaystyle {\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$

はコンパクトで はの開被覆（ 上）なので、有限被覆を抽出できます。 とします。このとき、 であるため、コレクション のネスト仮説により、となります。したがって、となります。しかし、 では矛盾が生じます。∎${\displaystyle C_{0}\subset S}$${\displaystyle \{U_{k}\vert k\geq 0\}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle \{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}}$${\displaystyle M=\max_{1\leq i\leq m}{k_{i}}}$${\displaystyle {\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}}$${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots }$${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$${\displaystyle C_{0}={\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}}$${\displaystyle C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset }$

実解析の定理は、実数集合の閉じた部分集合と有界な部分集合に対して同じ結論を導きます。これは、 の空でない閉じた有界な部分集合の減少する入れ子列には、空でない共通集合が存在すること を述べています。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

このバージョンは、実数の集合がコンパクトであるためには、それらが閉じていて有界である必要があると述べる、ハイン・ボレルの定理に照らした一般的な位相的記述から導かれる。しかし、これは通常、この定理を証明する補題として使用されるので、別途証明する必要がある。

たとえば、 の場合、 上の共通部分は です 。一方、有界開集合の列と有界閉集合の列は両方とも空の共通部分が存在します。これらの列はすべて適切にネストされています。 ${\displaystyle C_{k}=[0,1/k]}$${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle C_{k}=(0,1/k)}$${\displaystyle C_{k}=[k,\infty )}$

この定理は、実数の - 元ベクトルの集合に一般化されますが、任意の距離空間には一般化されません。たとえば、有理数の空間では、集合 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle C_{k}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k]=({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k)}$

閉じていて境界があるが、交差は空である。

集合はコンパクトではないため、これは位相的な記述とも矛盾せず、また、有理数は通常の測定基準に関して完全ではないため、以下の変形とも矛盾しないことに注意してください。 ${\displaystyle C_{k}}$

この定理の単純な帰結は、カントール集合は空ではないということです。なぜなら、カントール集合は、有限個の閉区間の和集合として定義される、減少する入れ子の集合列の交差として定義されるからです。したがって、これらの集合はそれぞれ空ではなく、閉じており、有界です。実際、カントール集合には無数に多くの点が含まれています。

定理。を 満たす 空でない閉じた有界部分集合の列を${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots C_{n}\supset C_{n+1}\cdots .}$

それから、

${\displaystyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .}$

証明。空でない、閉じた、有界な部分集合にはそれぞれ極小元が存在する。各 に対して、 ${\displaystyle C_{k}\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle x_{k+1}\in C_{k+1}\subset C_{k}}$、

すると

${\displaystyle x_{k}\leq x_{k+1}}$、

有界集合に含まれる増加数列も同様である。有界実数列の単調収束定理は、極限点の存在を保証する。${\displaystyle (x_{k})_{k\geq 0}}$${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{k}.}$

を固定すると、すべての に対して、 となり、 は閉じており は極限点なので、 となります。 の選択は任意であるため、に属し、証明は完全です。 ∎ ${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{j}\in C_{k}}$${\displaystyle j\geq k}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in C_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}}$

完全な計量空間では、カントールの交差定理の次の変形が成り立ちます。

定理。が 完全な距離空間であり、 が直径が0 に近づく空でない閉じた入れ子の部分集合の列であるとします。${\displaystyle X}$${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\operatorname {diam} (C_{k})=0,}$

ここで、は次のように定義されます。${\displaystyle \operatorname {diam} (C_{k})}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (C_{k})=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in C_{k}\}.}$

すると、 の交点にはちょうど 1 つの点が含まれます。${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}=\{x\}}$

一部の人にとっては。${\displaystyle x\in X}$

証明（概略）。直径は 0 に近づくので、 の交点の直径は0 であり、したがって空であるか、または単一の点から構成されます。したがって、空でないことを示すだけで十分です。各 の元を選択します。 の直径は0 に近づき、 はネストされているため、 はコーシー数列を形成します。距離空間は完備なので、このコーシー数列はある点 に収束します。各 は閉じており、 は内の数列の極限であるため、 は内にある必要があります。これはすべての に対して真であるため、 の交点には が含まれている必要があります。∎ ${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x_{k}\in C_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x}$

この定理の逆も真です。 が、直径が 0 に近づく空でない閉部分集合の入れ子になった族の共通部分が空でないという性質を持つ距離空間である場合、 は完全な距離空間です。(これを証明するには、の Cauchy 列とし、 をこの列の末尾の閉包とします。) ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{k})_{k\geq 1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle (x_{j})_{j\geq k}}$

• クラトフスキーの交差定理
• ヘリーの定理- 集合の交差に関する別の定理。

• Weisstein, Eric W.「カントールの交差定理」。MathWorld。
• ジョナサン・ルーウィン。数学的分析への対話型入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-01718-1。セクション 7.8 。