バックルンド変換

数学において、バックルンド変換（スウェーデンの数学者アルベルト・ヴィクトル・バックルンドにちなんで名付けられた）は、偏微分方程式とその解の関係を表す。これらはソリトン理論や可積分系において重要なツールである。バックルンド変換は、通常、2つの関数を関連付ける1階偏微分方程式系であり、多くの場合、追加のパラメータに依存する。これは、2つの関数がそれぞれ偏微分方程式を満たすことを意味し、それぞれの関数は他方の関数のバックルンド変換であると言われる。

同じ方程式の解を関連付けるバックルンド変換は、不変バックルンド変換または自己バックルンド変換と呼ばれます。このような変換が見つかれば、特にバックルンド変換にパラメータが含まれている場合、方程式の解について多くのことが推測できます。しかし、バックルンド変換を体系的に見つける方法は知られていません。

バックルンド変換は微分幾何学に起源を持ち、最初の非自明な例は、1880年代にL.ビアンキとA.V.バックルンドによって導入された擬球面の変換である。これは、線形微分方程式の解を用いて、元の擬球面から新しい擬球面を幾何学的に構成するものである。擬球面はサイン・ゴルドン方程式の解として記述できるため、曲面のバックルンド変換はサイン・ゴルドン方程式の解の変換と見なすことができる。

バックルンド変換の典型的な例は、コーシー・リーマン系である。

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad u_{y}=-v_{x},\,}$

実部と虚部の関係${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$正則関数の。この1階偏微分方程式系は、以下の性質を持つ。

1. もし${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$コーシー・リーマン方程式の解である場合、${\displaystyle u}$これはラプラス方程式の解である。$\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=0}$ （つまり調和関数）なので、${\displaystyle v}$これは、方程式をに関して微分することで容易に導かれる。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$そして、${\displaystyle u_{xy}=u_{yx},\quad v_{xy}=v_{yx}.\,}$
2. 逆に、${\displaystyle u}$がラプラス方程式の解である場合、関数が存在する。${\displaystyle v}$これはコーシー・リーマン方程式を解くものであり、${\displaystyle u}$。

したがって、この場合、調和関数のバックルンド変換は共役調和関数になります。上記の性質は、より正確には、ラプラス方程式が次のようになることを意味します。${\displaystyle u}$そしてラプラス方程式は${\displaystyle v}$これらは、コーシー・リーマン方程式を解くための積分可能性条件である。

これらはバックルンド変換の特徴です。${\displaystyle u}$、そしてバックルンド変換は${\displaystyle u}$に${\displaystyle v}$によって満たされる偏微分方程式を導出できます。${\displaystyle v}$。

この例はかなり単純で、3 つの方程式すべて (${\displaystyle u}$の式${\displaystyle v}$およびそれらを関連付けるバックルンド変換は線形です。バックルンド変換は、3 つの方程式のうち 1 つだけが線形である場合に最も興味深いものとなります。

uがサイン・ゴルドン方程式の解であると仮定する。

${\displaystyle u_{xy}=\sin u.\,}$

次にシステムが

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {v+u}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {vu}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

ここで、aは任意のパラメータであり、はサイン・ゴルドン方程式も満たす関数vについて解くことができる。これはオート・バックルンド変換の一例である。

行列システムを用いることで、サイン・ゴルドン方程式の解に対する線形バックルンド変換を求めることも可能である。

バックルンド変換を用いると、非線形偏微分方程式をより単純な線形偏微分方程式に変換することができる。

例えば、uとvがバックルンド変換によって関連付けられている場合

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}+2a\exp {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}-{\frac {1}{a}}\exp {\Bigl (}{\frac {uv}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

ここで、aは任意のパラメータであり、uはリウヴィル方程式の解である。

${\displaystyle u_{xy}=\exp u\,\!}$

すると、v は、より単純な方程式の解となる。${\displaystyle v_{xy}=0}$そしてその逆もまた然り。

そうすれば、（非線形）リウヴィル方程式を、はるかに単純な線形方程式を用いて解くことができる。

• 統合可能なシステム
• コルテヴェーク・ド・フリース方程式
• ダルブーの変形

• 「バックルンド変換」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「バックランドの変換」。マスワールド。