解決 より数学的な観点から問題を述べると、長さlの針を t 単位間隔で平行線が引かれた平面上に落としたとき、針が着地時に平行線をまたぐ確率はどれくらいか？
xを 針の中心から最も近い平行線までの距離とし、θを 針と平行線のいずれかとの間の鋭角とする。
0からt/2までのx の 一様 確率 密度 関数（ PDF
f X （ x ） = { 2 t : 0 ≤ x ≤ t 2 0 : 他の場所で。 {\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{それ以外の場合。}}\end{cases}}} ここで、x = 0 は、x = t / 2 は、針が2本の直線のちょうど中間にあることを表します。一様確率密度関数は 、
0からπ/2までの θ の 一様 確率 密度関数
f Θ （ θ ） = { 2 π : 0 ≤ θ ≤ π 2 0 : 他の場所で。 {\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{それ以外の場合}}\end{cases}}} ここで、θ = 0 はθ = π / 2 ラジアン は 、マークされた線に垂直な針を表します。この範囲内のどの角度も、等しく起こりうる結果であると想定されます。
2つの確率変数 xとθ は独立であるため[ 4 ]、 同時 確率密度関数は 積となる。
f X 、 Θ （ x 、 θ ） = { 4 t π : 0 ≤ x ≤ t 2 、 0 ≤ θ ≤ π 2 0 : 他の場所で。 {\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{その他}}\end{cases}}} 針が線を横切るのは、
x ≤ l 2 罪 θ 。 {\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .} 現在、2つのケースが存在する。
l ≤ t 同時確率密度関数を積分すると、針が線を横切る確率が得られます。
P = ∫ θ = 0 π 2 ∫ x = 0 l 2 罪 θ 4 t π d x d θ = 2 l t π 。 {\displaystyle P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.}
l > t l > t
∫ θ = 0 π 2 ∫ x = 0 m （ θ ） 4 t π d x d θ 、 {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,} ここで、m ( θ )は l / 2sinθ と t 2 の 間 の 最小値です 。
したがって、上記の積分を実行すると、l > t
P = 2 l t π − 2 t π （ l 2 − t 2 + t arcsin t l ） + 1 {\displaystyle P={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1} または
P = 2 π アルコス t l + 2 π ⋅ l t （ 1 − 1 − （ t l ） 2 ） 。 {\displaystyle P={\frac {2}{\pi }}\arccos {\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right).} 2番目の式において、最初の項は、針の角度が常に少なくとも1本の線と交差するような角度になる確率を表します。右側の項は、針の位置が重要となる角度で落下し、かつ線と交差する確率を表します。
あるいは、θ が l sin θ ≤ t 0 ≤ θ ≤ arcsin t / l の範囲にある場合、交差する確率は短い針の場合と同じであることに注目してください。ただし、l sin θ > t arcsin t / l θ ≤ π / 2 の場合、確率は一定で 1 に等しくなります。
P = （ ∫ θ = 0 arcsin t l ∫ x = 0 l 2 罪 θ 4 t π d x d θ ） + （ ∫ arcsin t l π 2 2 π d θ ） = 2 l t π − 2 t π （ l 2 − t 2 + t arcsin t l ） + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}}
初等微積分を使用する 「短い針」の場合の以下の解法は、上記の解法と同等ですが、より視覚的な表現が可能であり、反復積分を回避できます。
確率Pは 、 = P 1 · P 2 P 1 は P 2 は
上記の図を見ると、針の中心がストリップの両側から l / 2 単位以内にある場合、針が線を横切ることができることがわかります。両側から l / 2 + l / 2 tで割ると、 P 1 = l / t
赤と青の針はどちらも中心がxです。赤い針は両側に 2θ の角度で囲まれた灰色の領域内にあり、垂直線を横切りますが、青い針は横切りません。中心xが 0から1まで変化するときの積分値は、円の灰色 ここで、中心がストリップの端から到達可能な範囲内にあると仮定し、P 2 l = 2 {\displaystyle l=2}
このセクションの図のように、 x とθ を 考えます。針の中心をxに置くと、可能な向き π ラジアンのうち、2 θ ラジアンの範囲内にある場合に、針は垂直軸を横切ります。これは、図のx の左側の灰色の領域を表しています。固定されたxに対して、 θ を x の関数として次のように表すことができます。θ ( x ) = arccos( x ) 。ここで 、 x を 0 から 1 の範囲で変化させ、積分します。
P 2 = ∫ 0 1 2 θ （ x ） π d x = 2 π ∫ 0 1 コス − 1 （ x ） d x = 2 π ⋅ 1 = 2 π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}} 両方の結果を掛け合わせると、上記のようにP = P 1 · P 2 = l / t 2 / π 2 l / tπ
「短い針の場合」を計算する、さらに洗練された簡単な方法があります。針の領域を囲む2本の線のうち、最も遠い方の針の端は、その線から水平方向（境界線に垂直な方向）にl cos θ θ は針と水平線の間の角度）以内にある必要があります。そうでないと、針はその線を横切ることができません。この針の端が領域内で水平方向に移動できる最大距離はt です。0 ≤ θ ≤ π / 2 の範囲で、針の最も遠い端が線からl cos θ以内の距離にある（ つまり 、針 確率 は、 次 の 式で 与え られ 。
P = ∫ 0 π 2 l コス θ d θ ∫ 0 π 2 t d θ = l t ⋅ ∫ 0 π 2 コス θ d θ ∫ 0 π 2 d θ = l t ⋅ 1 π 2 = 2 l t π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}}
π の推定π を求める実験。長さ 9 マスのマッチ棒を、 2 l · n / th = 2 × 9 × 17 / 9 × 11 ≈ 3.1 ≈ π Python 3ベースの Matplotlib を使用したシミュレーションで、 t = 5.0l = 2.6x軸) が無限大に近づくにつれて、 π ( y 軸)の計算値が 3.14 に近づく様子を観察してください。 上記の最初のより単純なケースでは、確率P について得られた式を次のように変形できます。
π = 2 l t P 。 {\displaystyle \pi ={\frac {2l}{tP}}.} したがって、 P を 推定するための実験を行うと、 π の推定値も得られます。
n 本の針を落とし、そのうちh 本の針が交差線になっていると仮定すると、Pは 分数h/nで近似されます。 これ により 、 次
π ≈ 2 l ⋅ n t h 。 {\displaystyle \pi \approx {\frac {2l\cdot n}{th}}.} 1901年、イタリアの数学者マリオ・ラッツァリーニはビュフォンの針の実験を行った。針を3,408回投げ、π のよく知られた近似値 355 / 113 [ 6 ] ラッツァリーニの「実験」は確証バイアス の例であり、すでによく知られている近似値 355 / 113 ） 。その結果、試行回数から予想されるより も正確なπ の「予測」が得られた。以下に示すとおりである。 [ 7 ]
ラッツァリーニは、 木の板の幅の5/6 の 長さ 。 したがって 、 n 本 の 針を落としてx 回交差した場合、 π は 次 。
π ≈ 5 3 ⋅ n x {\displaystyle \pi \approx {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}}} したがって、ラッツァリーニが355 / 113 という n とx は 次のようになる必要があります。
355 113 = 5 3 ⋅ n x 、 {\displaystyle {\frac {355}{113}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}},} または同等に、
x = 113 n 213 。 {\displaystyle x={\frac {113n}{213}}.} これを行うには、n を 213 の倍数として選択する必要があります。なぜなら、その場合113 n / 213 は 整数 に なるからです。次に、n 本の針を落とし、x = 113 n / 213 回の成功を期待します。213 本の針を落とし、たまたま 113 π の推定値を小数点以下 6 桁まで正確に報告できます。そうでない場合は、さらに 213 回試行して、合計 226 回の成功を期待します。そうでない場合は、必要に応じて繰り返します。ラッツァリーニは3,408 = 213 × 16 回 の試行を行ったため、これが彼が「推定値」を得るために使用した戦略である可能性が高いと思われます。
上記の戦略の説明は、ラッツァリーニに対して寛大な評価と言えるかもしれない。彼が報告した、より少ない投擲回数での中間結果の統計分析によると、実験全体を通して期待値 にこれほど近い一致を達成する確率は非常に低い。このことから、「実験」自体は実際に行われたのではなく、統計的期待値に合致するように想像で作り上げられた数値に基づいて行われた可能性が非常に高いが、結果的には合致しすぎたということになる。[ 7 ]
しかし、オランダの科学ジャーナリスト、ハンス・ファン・マーネンは、ラッツァリーニの記事は真剣に受け止められることを意図したものではなかったと主張している。なぜなら、（学校教師を対象とした）雑誌の読者にとっては、ラッツァリーニが作ったという装置が説明どおりに機能するはずがないことは明らかだったからである。[ 8 ]
Mieczysław Szyszkowicz (2024) が提案した実験の簡略化された実現では、円上のランダムな点を選択して針の回転をシミュレートします。このアプローチでは、従来π の値の 事前 知識が必要だった角度を事前に選択する必要がなくなります。[ 9 ]
ここで、平面上に互いに直交する 2 組の平行線があり、標準的な垂直グリッドが作成されている場合を考えます。ここでは、針がグリッド上の少なくとも 1 つの線と交差する確率を求めます。長さがl の針の中点を含む長方形の辺をa とb とします。これは短い針の場合なので、l < a l < b ( x 、 y ) を針の中点の座標とし、φ を針と x 軸によって形成される角度とします。上記の例と同様に、x 、y 、φ を 0 ≤ x ≤ a 0 ≤ y ≤ b − π / 2 ≤ φ ≤ π / 2
このような問題を解決するには、まず針がどの線も横切らない確率を計算し、次にその補数を取ります。この最初の確率は、針がどの線も横切らない領域の体積を求め、それをすべての可能性の体積Vで割ることによって計算します。V = πab で ある
ここで、V * を、 Uspensky によって開発された[ 10 ]
V * = ∫ − π 2 π 2 F （ φ ） d φ {\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi } ここで、F ( φ )は、角度φが与えられたとき に ( φ ) を a で、中点は辺の両端からl/2 cos φの範囲内にあってはなりません。 したがって 、 交差 し ない ための許容全長はa − 2(l/2 cos φ)または単にa − l cos φ です 。 同様 に 、 長 さ bの 垂直 辺 の 場合 、 b ± l sin φ と 、 φ が正または負の場合を考慮したものです。正の場合を取り上げ、一般性を保つために最終的な答えに絶対値記号を追加すると、次のようになります。
F （ φ ） = （ 1 − l コス φ ） （ b − l 罪 φ ） = 1 b − b l コス φ − 1 l | 罪 φ | + 1 2 l 2 | 罪 2 φ | 。 {\displaystyle F(\varphi )=(a-l\cos \varphi )(b-l\sin \varphi )=ab-bl\cos \varphi -al|\sin \varphi |+{\tfrac {1}{2}}l^{2}|\sin 2\varphi |.} これで、次の積分を計算できます。
V * = ∫ − π 2 π 2 F （ φ ） d φ = π 1 b − 2 b l − 2 1 l + l 2 。 {\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi =\pi ab-2bl-2al+l^{2}.} したがって、針がどの線とも交差しない確率は
V * V = π 1 b − 2 b l − 2 1 l + l 2 π 1 b = 1 − 2 l （ 1 + b ） − l 2 π 1 b 。 {\displaystyle {\frac {V^{*}}{V}}={\frac {\pi ab-2bl-2al+l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}.} 最後に、針が少なくとも1本の線と交差する確率Pを計算したい場合は、上記の結果を1から引いてその補数を計算する必要があります。
P = 2 l （ 1 + b ） − l 2 π 1 b {\displaystyle P={\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}}
π の推定値の比較前述のように、ビュフォンの針の実験はπ を 推定するために使用できます。この事実はラプラスの拡張にも当てはまります。なぜなら、その答えにもπ が 現れるからです。次に、次の疑問が自然に生じ、1974 年に EF シュスターによって議論されました。[ 11 ] ビュフォンの実験とラプラスのどちらがπ の値のより良い推定値でしょうか? ラプラスの拡張では 2 組の平行線があるため、グリッドがある場合 (ラプラス) の N 滴と、ビュフォンの元の実験の 2N 滴 を 比較します。
Aを、針が水平線（ x 軸に平行な線）と交わる事象とする。
x = { 1 : 交差点が発生する 0 : 交差点なし {\displaystyle x={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}} Bを 、針が垂直線（ y 軸に平行な線）と交差する事象とする。
y = { 1 : 交差点が発生する 0 : 交差点なし {\displaystyle y={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}} 以降の代数式を簡略化するため、a = b = t = 2 l P ( A ) = P ( B ) = 1 / π と なります N = 100
次に、ラプラスの結果、つまり針が水平線と垂直線の両方と交差する確率であるP ( AB )を調べてみましょう。
P （ A B ） = 1 − P （ A B ′ ） − P （ A ′ B ） − P （ A ′ B ′ ） 。 {\displaystyle P(AB)=1-P(AB')-P(A'B)-P(A'B').} 上記のセクションから、P ( A ′ B ′)
P （ A ′ B ′ ） = 1 − 2 l （ 1 + b ） − l 2 π 1 b = 1 − 2 l （ 4 l ） − l 2 4 l 2 π = 1 − 7 4 π 。 {\displaystyle P(A'B')=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(4l)-l^{2}}{4l^{2}\pi }}=1-{\frac {7}{4\pi }}.} 以下の方法を用いて、P ( A′B )と PAB ′ ) を
P （ A ） = 1 π = P （ A B ） + P （ A B ′ ） P （ B ） = 1 π = P （ A B ） + P （ A ′ B ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}} P ( A′B ) P ( AB ′)P ( AB )の式が得られます 。
P （ A B ） = 1 − 2 （ 1 π − P （ A B ） ） − （ 1 − 7 4 π ） = 1 4 π {\displaystyle P(AB)=1-2\left({\frac {1}{\pi }}-P(AB)\right)-\left(1-{\frac {7}{4\pi }}\right)={\frac {1}{4\pi }}} 問題には必須ではないが、P ( A ′ B ) = P ( AB ′) = 3 / 4 π であることがわかった。上記の値を用いて、これらの推定量のどちらがπ のより良い推定量であるかを判断できる。ラプラス変形の場合、p̂ を、 次のような線分交点が存在する確率の推定量とする。
p ^ = 1 100 ∑ n = 1 100 x n + y n 2 {\displaystyle {\hat {p}}={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}} 我々は、そのような推定量の分散に関心があり、その有用性や効率性を理解しようとしている。p̂ の分散を計算するために、 まずVar( x n + y n ) を計算する。
バラ （ x n + y n ） = バラ （ x n ） + バラ （ y n ） + 2 カバー （ x n 、 y n ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})=\operatorname {Var} (x_{n})+\operatorname {Var} (y_{n})+2\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n}).} 各部分を個別に解くと、
バラ （ x n ） = バラ （ y n ） = ∑ 私 = 1 2 p 私 （ x 私 − E （ x 私 ） ） 2 = P （ x 私 = 1 ） （ 1 − 1 π ） 2 + P （ x 私 = 0 ） （ 0 − 1 π ） 2 = 1 π （ 1 − 1 π ） 2 + （ 1 − 1 π ） （ − 1 π ） 2 = 1 π （ 1 − 1 π ） 。 カバー （ x n 、 y n ） = E （ x n y n ） − E （ x n ） E （ y n ） {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{aligned}}} 前のセクションから、
E （ x n y n ） = P （ A B ） = 1 4 π {\displaystyle \mathbb {E} (x_{n}y_{n})=P(AB)={\frac {1}{4\pi }}} 降伏
カバー （ x n 、 y n ） = 1 4 π − 1 π ⋅ 1 π = π − 4 4 π 2 < 0 {\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})={\frac {1}{4\pi }}-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{\pi }}={\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}<0} したがって、
バラ （ x n + y n ） = 1 π （ 1 − 1 π ） + 1 π （ 1 − 1 π ） + 2 （ π − 4 4 π 2 ） = 5 π − 8 2 π 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+2\left({\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}\right)={\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}} この節の元の問題に戻ると、推定量p̂ の分散は次のようになる。
バラ （ p ^ ） = 1 200 2 （ 100 ） （ 5 π − 8 2 π 2 ） ≈ 0.000 976. {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {1}{200^{2}}}(100)\left({\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}\right)\approx 0.000\,976.} 次に、 Mを計算します。M < 200 の場合、平行線のみのセットアップは垂直線の場合よりも効率的であると結論付けることができます。逆に、M が 200 以上の場合、Buffon の実験はそれぞれ同等またはそれ以下の効率となります。q̂を Buffon の元の実験の推定値とします。すると、
q ^ = 1 M ∑ m = 1 M x m {\displaystyle {\hat {q}}={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}x_{m}} そして
バラ （ q ^ ） = 1 M 2 （ M ） バラ （ x m ） = 1 M ⋅ 1 π （ 1 − 1 π ） ≈ 0.217 M {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {q}})={\frac {1}{M^{2}}}(M)\operatorname {Var} (x_{m})={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\approx {\frac {0.217}{M}}} M を解くと、
0.217 M = 0.000 976 ⟹ M ≈ 222. {\displaystyle {\frac {0.217}{M}}=0.000\,976\implies M\approx 222.} したがって、ラプラスのケースで100滴の場合と同じ確実性を得るには、平行線のみで222滴の滴下が必要になります。これは実際には驚くべきことではありません。なぜなら、Cov( x n , y n ) < 0という観測結果があるからです。x n y n は 負の相関を持つ確率変数であるため、これら2つの平均である推定量の全分散を減少させるように作用します。この分散減少法は、 対照変数 法として知られています。
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外部リンク ビュフォンの針の問題（cut-the-knot） 数学の驚き：cut-the-knot のBuffon's Noodle MSTE: ビュフォンの針 ビュフォンの針 Java アプレット PI可視化の推定（Flash） ビュフォンの針：楽しさと基礎（プレゼンテーション）をSlideshare でご覧ください Yihui XieによるR パッケージanimationを使用したBuffon's Needleのシミュレーションアニメーション ジェフリー・ヴェントレッラによる3D物理アニメーション パディラ、トニー。「π 円周率とビュフォンの針」。Numberphile 。ブレイディ ・ハラン 。 2013年5月17日のオリジナルからアーカイブ済み。 2013年4月9日 取得 。
![{\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{それ以外の場合。}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0708869e999c77c5eca5062faadc573ab5ce22)
![{\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{それ以外の場合}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bc8ca1352dfe4703cee49b1c35680b9161df18)
![{\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{その他}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f24c6e4539273fafc77300c3868f71a7660f1e3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10529adf4693dd41db93d8fe8959e5b3b419c53c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de38c66ad9ef5fcdcceec12d1344c773165c396a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890d6424050798f15868181e5547bea78561737f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bf0ebc7371e685cc0089bd2a85f94d041b8c1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de39bbacc33db35602c8e37543dd08af1986511d)
