ブッフォンの針問題

確率論において、ビュフォンの針問題は18世紀にジョルジュ＝ルイ・ルクレール・ビュフォン伯爵によって初めて提起された問題である。^[1]

同じ幅の木片が平行に敷き詰められた床があり、その上に針を 1 本落としたとします。針が 2 本の板の間の線を横切る確率はどれくらいでしょうか。

ビュフォンの針は幾何学的確率論において最も早く解決された問題である。 ^[2]積分幾何学を用いて解くことができる。針の長さlがストリップの 幅tより大きくない場合の、求められる確率pの解は、

${\displaystyle p={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}.}$

これは、数値πを近似するためのモンテカルロ法を設計するために使用できますが、これはデ・ビュフォンの質問の元々の動機ではありませんでした。^{[3]この式で}πが異常に出現するのは、針の向きの基礎となる確率分布関数が回転対称であるためです。

この問題をより数学的に表現すると、次のようになります。長さlの針を、t単位間隔の平行線が引かれた平面上に落とした場合、針が着地時に直線を横切る確率はどれくらいでしょうか。

針の中心から最も近い平行線までの距離をxとし、針と平行線の 1 つとの間の鋭角を θとします。

0 から⁠までのxの一様確率密度関数(PDF)t/2⁠は

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

ここで、x = 0 は直線の中央に位置する針を表し、x = ⁠t/2⁠ は、 2 本の線の間の中心に完全に位置している針を表します。均一 PDF では、針がこの範囲内のどこにでも落ちる可能性は等しいが、範囲外に落ちることはないと想定されます。

0から⁠までのθの一様確率密度関数π/2⁠は

${\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

ここで、θ = 0 は、マークされた線に平行な針を表し、θ = ⁠π/2⁠ ラジアンは、マークされた線に対して垂直な針を表します。この範囲内のどの角度も、同様に起こり得る結果であると想定されます。

2つの確率変数xとθは独立しているので^{[4] 、}結合確率密度関数は

${\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

針が線を越えると

${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .}$

今は2つのケースがあります。

結合確率密度関数を積分すると、針が線を横切る確率が得られます。

${\displaystyle P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.}$

l > tと仮定します。この場合、結合確率密度関数を積分すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,}$

ここで、m ( θ )は、⁠l/2⁠ sin θと⁠t/2⁠ .

したがって、上記の積分を実行すると、 l > tのとき、針が少なくとも1本の線を横切る確率は

${\displaystyle P={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1}$

または

${\displaystyle P={\frac {2}{\pi }}\arccos {\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right).}$

2 番目の式では、最初の項は、針の角度が常に少なくとも 1 本の線と交差する確率を表します。右側の項は、針の位置が重要になる角度で針が落ち、線と交差する確率を表します。

あるいは、 θ がl sin θ ≤ t、つまり0 ≤ θ ≤ arcsin の範囲にあるような値を持つときはいつでも、t/l⁠、交差の確率は短い針の場合と同じです。ただし、 l sin θ > t、つまりarcsin ⁠t/l⁠ < θ ≤ ⁠π/2⁠確率は一定で 1 に等しくなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}}$

「短い針」の場合の次の解法は、上記の解法と同等ですが、より視覚的な特徴があり、反復積分を回避します。

確率Pは、2 つの確率の積として計算できます。P = P ₁ · P ₂、ここでP ₁は、針の中心が線に十分近くなり、針が線を横切る可能性がある確率であり、P ₂は、中心が手の届く範囲内にある場合に、針が実際に線を横切る確率です。

上のセクションの図を見ると、針の中心が⁠内にある場合、針が線を横切ることができることがわかります。l/2⁠ストリップの両側の⁠ユニット。 ⁠ を追加すると、l/2⁠ + ⁠l/2⁠両辺を全幅tで割ると、 P ₁ = ⁠が得られます。l/t⁠ .

ここで、中心がストリップの端の届く範囲内にあると仮定して、P _{2 を}計算します。計算を簡略化するために、 と仮定することができます。 ${\displaystyle l=2}$

xとθ をこのセクションの図のようにとります。針の中心をxに置くと、針はπラジアンの可能な方向のうち2 θラジアンの範囲内にある場合に垂直軸と交差します。これは、図のxの左側の灰色の領域を表します。 x が固定されている場合、 θ をxの関数として表すことができます: θ ( x ) = arccos( x )。ここで、x の範囲を 0 から 1 にして積分します。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}}$

両方の結果を掛け合わせると、P = P ₁ · P ₂ = ⁠l/t⁠ · ⁠2/π⁠ = ⁠2リットル/3π ...⁠上記の通り。

「短い針の場合」を計算するさらにエレガントで簡単な方法があります。針が線を横切るためには、その領域を囲む 2 本の線のいずれかから最も遠い針の端が、この線からl cos θ ( θは針と水平線の間の角度) の水平 (境界線に垂直) 距離内になければなりません。針のこの端が領域内でこの線から水平に移動できる最も遠い距離はtです。0 ≤ θ ≤ ⁠ の場合、針の最も遠い端が線から距離l cos θ以内に位置する (したがって針が線を横切る) 確率は、領域内で針が移動できる合計距離tのうちです。π/2⁠ は次のように与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}}$

短針問題は、直径tの円が距離tのストリップを常に（つまり確率1で）ちょうど2つの点で横切るという幾何学的事実からpの公式を説明する方法で、積分なしで解くこともできます。この解は、1860年にジョセフ・エミール・バルビエによって示され^{[5] 、「}ビュフォンの麺」とも呼ばれています。

上記の最初の、より単純なケースでは、確率Pについて得られた式は次のように変形できる。

${\displaystyle \pi ={\frac {2l}{tP}}.}$

したがって、 P を推定する実験を行うと、 πの推定値も得られます 。

n本の針を落とし、そのうちh本の針が線と交差しているとすると、Pは次の分数で近似される。h/ん⁠ . これにより、次の式が導かれます。

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2l\cdot n}{th}}.}$

1901年、イタリアの数学者マリオ・ラザリーニはビュフォンの針の実験を行った。針を3,408回投げることで、よく知られた近似値を得た 。355/113⁠ πについては、小数点以下6桁の精度です。^{[6]ラザリーニの「実験」は}確証バイアス の例であり、すでによく知られている⁠の近似値を再現するように設定されていました。355/113⁠（実際、分子と分母が5桁未満の有理近似値よりも良いものは存在しません。Milüも参照） 、次のように試行回数から予想されるよりも正確なπの「予測」が得られます。 ^[7]

ラザリーニは長さが⁠の針を選んだ。5/6⁠木の細片の幅。この場合、針が線を横切る確率は⁠5/3π​⁠。したがって、 n本の針を落としてx回の交差を得ると、 πは次のように 推定される。

${\displaystyle \pi \approx {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}}}$

ラザリーニがその結果を狙っていたとしたら、355/113⁠、彼はnとxが

${\displaystyle {\frac {355}{113}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}},}$

または同等に、

${\displaystyle x={\frac {113n}{213}}.}$

これを実行するには、nを213の倍数として選択する必要があります。113位/213⁠ は整数です。次に、 n本の針を落とし、 x = ⁠となることを期待します。113位/213⁠成功。213 本の針を落として 113 回成功した場合、小数点以下 6 桁の精度でπの推定値を誇らしげに報告できます。成功しなかった場合は、さらに 213 回試行して合計 226 回の成功を期待します。成功しなかった場合は、必要に応じて繰り返します。Lazzarini は3,408 = 213 × 16 回の試行を実行したため、これが彼が「推定値」を得るために使用した戦略である可能性が高いと思われます。

上記の戦略の説明は、ラザリーニに寛大なものとさえ考えられる。彼が報告した、より少ない回数の投げに対する中間結果の統計分析は、実験全体を通して期待値に非常に近い一致を達成する可能性が非常に低いことを示唆している。これは、「実験」自体は物理的に実行されたことはなく、統計的期待に一致するように想像から作られた数字に基づいていたが、結局のところ、あまりにもうまく一致していた可能性が高いことを示唆している。^[7]

しかし、オランダの科学ジャーナリスト、ハンス・ファン・マーネンは、ラザリーニの記事は真剣に受け止められるべきではなかったと主張している。なぜなら、ラザリーニが作ったという装置が説明通りに機能するはずがないことは、（学校教師向けの）雑誌の読者にとっては明らかだったはずだからだ。^[8]

ここで、平面に互いに直交する 2 組の平行線があり、標準的な垂直グリッドを作成する場合を考えます。針がグリッド上の少なくとも 1 本の線と交差する確率を見つけます。長さlの針の中点を含む長方形の辺をaとbとします。これは短い針の場合なので、l < a、l < bです。( x、y ) を針の中点の座標とし、φ を針とx軸がなす角度とします。上記の例と同様に、x、y、φ を0 ≤ x ≤ a、0 ≤ y ≤ b、− ⁠ の範囲にわたる独立した一様ランダム変数と見なします。π/2⁠ ≤ φ ≤ ⁠π/2⁠ .

このような問題を解くには、まず針がどの線も横切らない確率を計算し、次にその補数を取ります。この最初の確率を計算するには、針がどの線も横切らない領域の体積を決定し、それをすべての可能性の体積 V で割ります。V = πabであることが簡単にわかります。

ここで、針がどの線とも交差しない可能性のある体積をV *とする。これはJVウスペンスキーによって開発された^[9]。

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi }$

ここで、F ( φ )は、角度φ が与えられたときに針がどの線とも交差しない領域です。 F ( φ )を決定するために、まず境界矩形の水平辺の場合を見てみましょう。辺の合計の長さはaであり、中点は⁠内にあってはいけません。l/2⁠ cos φ は辺の両端の長さです。したがって、交差がない場合の許容される長さの合計はa − 2( ⁠l/2⁠ cos φ )または単にa − l cos φと書くこともできます。同様に、長さbの垂直辺については、 b ± l sin φとなります。± は、 φが正か負かを表します。正の場合を取り、一般性のために最終的な答えに絶対値の符号を加えると、次の式が得られます。

${\displaystyle F(\varphi )=(a-l\cos \varphi )(b-l\sin \varphi )=ab-bl\cos \varphi -al|\sin \varphi |+{\tfrac {1}{2}}l^{2}|\sin 2\varphi |.}$

これで次の積分を計算できます。

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi =\pi ab-2bl-2al+l^{2}.}$

したがって、針がどの線とも交差しない確率は

${\displaystyle {\frac {V^{*}}{V}}={\frac {\pi ab-2bl-2al+l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}.}$

そして最後に、針が少なくとも1本の線と交差する確率Pを計算したい場合、上記の結果を1から引いて補数を計算する必要があります。

${\displaystyle P={\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}}$。

上で述べたように、ビュフォンの針の実験はπを推定するのに使用できます。この事実はラプラス拡張にも当てはまり、πはその答えにも現れます。次の疑問が自然に生じ、1974年にEFシュスターによって議論されました。^{[10]ビュフォンの実験とラプラスの実験のどちらが}π の値をより正確に推定できるか？ラプラス拡張では2組の平行線があるため、グリッド（ラプラス）がある場合はN滴、ビュフォンの元の実験では2 N滴を比較します。

Aを針が水平線（ x軸 に平行）と交差するイベントとする。

${\displaystyle x={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

そして、針が垂直線（y軸に平行） と交差するイベントをBとする。

${\displaystyle y={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

これからの代数的定式化を簡単にするために、a = b = t = 2 lとすると、ビュフォンの問題の元の結果はP ( A ) = P ( B ) = ⁠ となる。1/π⁠ . さらに、 N = 100滴とします。

さて、ラプラスの結果であるP ( AB )、つまり針が水平線と垂直線の両方と交差する確率を 調べてみましょう。

${\displaystyle P(AB)=1-P(AB')-P(A'B)-P(A'B').}$

上のセクションから、P ( A ′ B ′)、つまり針がどの線とも交差しない確率は、

${\displaystyle P(A'B')=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(4l)-l^{2}}{4l^{2}\pi }}=1-{\frac {7}{4\pi }}.}$

次の方法を使用して、 P ( A ′ B )とP ( AB ′ )を解くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}}$

P ( A ′ B )とP ( AB ′ )を解き、それを数行上の P ( AB )の元の定義に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle P(AB)=1-2\left({\frac {1}{\pi }}-P(AB)\right)-\left(1-{\frac {7}{4\pi }}\right)={\frac {1}{4\pi }}}$

問題に必須ではないが、 P ( A ′ B ) = P ( AB ′) = ⁠であることが分かる。3/4π​⁠。上記の値により、これらの推定値のどれがπのより良い推定値であるかを判断できるようになりました。ラプラス変種の場合、 p̂ を次のような直線の交点が存在する確率の推定値とします

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$。

このような推定量の有用性や効率性を理解するために、我々はその分散に興味がある。p̂の分散を計算するには、まずVar( x _n + y _n )を計算する。ここで

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})=\operatorname {Var} (x_{n})+\operatorname {Var} (y_{n})+2\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n}).}$

各部分を個別に解決すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{aligned}}}$

前のセクションで述べたように、

${\displaystyle \mathbb {E} (x_{n}y_{n})=P(AB)={\frac {1}{4\pi }}}$

屈服する

${\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})={\frac {1}{4\pi }}-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{\pi }}={\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}<0}$

したがって、

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+2\left({\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}\right)={\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}}$

このセクションの元の問題に戻ると、推定量p̂の分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {1}{200^{2}}}(100)\left({\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}\right)\approx 0.000\,976.}$

ここで、垂直線に 100 滴滴下した場合と同じ分散を達成するために必要な滴数Mを計算します。M < 200の場合、平行線のみのセットアップの方が垂直線の場合よりも効率的であると結論付けることができます。逆に、M が 200 以上の場合、 Buffonの実験はそれぞれ同等かそれ以下になります。q̂をBuffon の元の実験の推定値とします。すると、

${\displaystyle {\hat {q}}={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}x_{m}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {q}})={\frac {1}{M^{2}}}(M)\operatorname {Var} (x_{m})={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\approx {\frac {0.217}{M}}}$

Mを解くと、

${\displaystyle {\frac {0.217}{M}}=0.000\,976\implies M\approx 222.}$

したがって、ラプラスの場合の 100 滴と同じ確実性を得るには、平行線のみの滴が 222 滴必要になります。これは、Cov( x _n、y _n ) < 0という観察結果からすると、実際には驚くべきことではありません。 x _nとy _{n は}負の相関関係にあるランダム変数であるため、これら 2 つの平均である推定値の合計分散を減らすように機能します。この分散削減方法は、対照変量法として知られています。

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• 数学のサプライズ：ブッフォンのヌードルが結び目を切る
• MSTE: ブッフォンの針
• ビュフォンの針 Java アプレット
• PI の視覚化の見積もり (Flash)
• ブッフォンの針：楽しさと基礎（プレゼンテーション）（スライドシェア）
• Yihui Xie による Buffon の針のシミュレーションのアニメーション ( Rパッケージのアニメーションを使用)
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• Padilla, Tony. 「π パイとビュフォンの針」. Numberphile . Brady Haran . 2013-05-17 にオリジナルからアーカイブ。2013-04-09に取得。