ブリルアン関数とランジュバン関数

ブリルアン関数とランジュバン関数は、統計力学で理想化された常磁性体を研究するときに現れる一対の特殊関数です。これらの関数は、物質の磁気特性の微視的理解に貢献した フランスの物理学者ポール・ランジュバンとレオン・ブリルアンにちなんで名付けられました。

ブリルアン関数^{[1] [2]}は、次の式で定義される特殊な関数である。

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

関数は通常、 が実変数で が正の整数または半整数であるコンテキストで適用されます (下記参照) 。この場合、関数は -1 から 1 まで変化し、 のときは +1 に近づき、 のときは -1 に近づきます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle x\to +\infty }$${\displaystyle x\to -\infty }$

この関数は、理想的な常磁性体の磁化の計算でよく知られています。特に、磁化が印加磁場と物質の微視的磁気モーメントの全角運動量量子数J に依存することを記述します。磁化は次のように表されます: ^[1]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}JB_{J}(x)}$

どこ

• ${\displaystyle N}$単位体積あたりの原子の数です。
• ${\displaystyle g}$g因子、
• ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$ボーア磁子、
• ${\displaystyle x}$は外部磁場中の磁気モーメントのゼーマンエネルギーと熱エネルギーの比である：^[1]${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle x=J{\frac {g\mu _{\rm {B}}B}{k_{\rm {B}}T}}}$

• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ボルツマン定数と温度です。${\displaystyle T}$

なお、SI 単位系では、テスラは磁場を表し、はA/m で与えられる補助磁場 、 は真空の透磁率です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B=\mu_{0}H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu_{0}}$

Takacs ^[3]はブリルアン関数の逆関数の次の近似を提案した。

${\displaystyle B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}{1-bx^{2}}}}$

ここで定数とは次の通り定義される。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {0.5(1+2J)(1-0.055)}{(J-0.27)2J}}+{\frac {0.1}{J^{2}}}}$

${\displaystyle b=0.8}$

古典的極限では、モーメントは場の中で連続的に整列し、すべての値（ ）をとることができます。ブリルアン関数は、ポール・ランジュバンにちなんで名付けられたランジュバン関数に簡略化されます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle J\to \infty }$

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

xの値が小さい場合、ランジュバン関数はテイラー級数の切断によって近似できます。

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }$

より適切な近似値は、 tanh( x )のランバート連分数展開から導かれる 。

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

x が十分に小さい場合、両方の近似値は、実際の解析式の直接評価よりも数値的に優れています。これは、解析式が の場合に壊滅的な相殺の影響を受けるためです。 ${\displaystyle x\approx 0}$${\displaystyle \coth(x)\approx 1/x}$

逆ランジュバン関数L ⁻¹ ( x )は開区間(−1, 1)上で定義される。xの値が小さい場合、テイラー級数の切り捨てによって近似できる^[4]

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }$

パデ近似値によって

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7}).}$

この関数には閉じた形がないので、任意のxの値に対して有効な近似値を持つことは有用である。全範囲(−1, 1)で有効な1つの一般的な近似値は、A. Cohenによって発表されている: ^[5]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.}$

この式は、 x = ±0.8付近で最大相対誤差が4.9%となる。R. Jedynakの式^{[6]を使うと、さらに高い精度が得られる。}

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3.0-2.6x+0.7x^{2}}{(1-x)(1+0.1x)}},}$

x ≥ 0に有効である。この近似の最大相対誤差は x = 0.85 付近で 1.5% である。M. Kröger によって示された式を使用すると、さらに高い精度を達成できる: ^[7]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {3x-x(6x^{2}+x^{4}-2x^{6})/5}{1-x^{2}}}}$

この近似値の最大相対誤差は0.28%未満である。より正確な近似値はR. Petrosyanによって報告されている: ^[8]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx 3x+{\frac {x^{2}}{5}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\right)+{\frac {x^{3}}{1-x}},}$

x ≥ 0の場合に有効である。上記の式の最大相対誤差は0.18%未満である。^[8]

R. Jedynak ^[9]によって与えられた新しい近似は、複雑度11における最も優れた近似値として報告されている。

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8})}{(1-x)(1+1.01524x)}},}$

x ≥ 0に有効である。その最大相対誤差は0.076%未満である。^[9]

逆ランジュバン関数の近似値の最新の図を下図に示す。これは有理数/パデ近似値に有効である。^{[7] [9]}

R. Jedynakによる最近発表された論文^[10]では、逆ランジュバン関数の最適な近似値が提示されている。以下の表は、正しい漸近挙動の結果を示している。^{[7] [9] [10]}

制約条件付きで計算された異なる最適有理近似値の相対誤差の比較（付録8表1）^[10]

また最近では、スプライン補間に基づく効率的な機械精度近似値がベニテスとモンタンスによって提案されており^[11]、スプラインベースの近似値を生成し、すべての関数領域で以前に提案された多くの近似値と比較するためのMatlabコードも提供されています。

つまりが小さいとき、磁化の式はキュリーの法則で近似できます。 ${\displaystyle x\ll 1}$${\displaystyle \mu _{\rm {B}}B/k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

ここで は定数です。 はボーア磁子の有効数であることがわかります。 ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}}$${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$

のとき、ブリルアン関数は 1 になります。磁化は飽和し、磁気モーメントは印加磁場と完全に一致します。 ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J}$