ボシュローのテスト

ボシュロー検定は、 2x2分割表を分析するための統計的仮説検定である。2つのベルヌーイ分布のランダム変数の関係を調べるもので、フィッシャーの正確検定よりも一様に強力な代替検定である。1970年にRDボシュローによって提案された。^[1]

2 × 2 分割表は、2 つのバイナリ変数の独立した観測値を視覚化し ます。${\displaystyle \ n\ }$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ B\ }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc|c}&B=1&B=0&{\mbox{Total}}\\\hline A=1&x_{11}&x_{10}&n_{1}\\A=0&x_{01}&x_{00}&n_{0}\\\hline {\mbox{Total}}&s_{1}&s_{0}&n\\\end{array}}}$

このような表の確率分布は、3つの異なるケースに分類できます。^[2]

1. 行の合計と列の合計は事前に固定されており、ランダムではありません。${\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }$${\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }$
   そして、すべてはによって決定されます。とが独立している場合、パラメータを持つ超幾何分布に従います。${\displaystyle \ x_{ij}\ }$${\displaystyle \ x_{11}~.}$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ x_{11}\ }$${\displaystyle \ n\ ,n_{1}\ ,s_{1}\ :}$
   ${\displaystyle \ x_{11}\ \sim \ {\mbox{Hypergeometric}}(\ n\ ,n_{1}\ ,s_{1}\ )~.}$
2. 行の合計は事前に固定されていますが、列の合計は固定されていません。${\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }$${\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }$すべてのランダムパラメータは、
   およびによって決定され、確率の二項分布に従います。${\displaystyle \ x_{11}\ }$${\displaystyle x_{01}\ }$${\displaystyle \ x_{11}\ ,x_{01}\ }$${\displaystyle \ p_{1}\ ,p_{0}\ :}$
   ${\displaystyle \ x_{11}\ \sim \ B(\ n_{1}\ ,p_{1}\ )\ }$
   ${\displaystyle \ x_{01}\ \sim \ B(\ n_{0}\ ,p_{0}\ )\ }$
3. 合計数だけが固定されていますが、行の合計と列の合計は固定されていません。${\displaystyle \ n\ }$${\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }$${\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }$
   この場合、ランダムベクトルは確率ベクトルを持つ多項分布に従います。${\displaystyle \ (\ x_{11},x_{10}\ ,x_{01}\ ,x_{00}\ )\ }$${\displaystyle \ (p_{11}\ ,p_{10}\ ,p_{01}\ ,p_{00}\ )~.}$

フィッシャーの正確検定は最初のケース用に設計されており、したがって正確な条件付き検定です (列の合計を条件とするため)。このようなケースの典型的な例は、お茶を味わう女性です。女性がミルク入りのお茶を 8 杯味わいます。そのうち 4杯には、お茶の前にミルクが注がれています。残りの 4 杯には、お茶が最初に注がれています。

女性はカップを 2 つのカテゴリに割り当てようとします。表記法に従うと、ランダム変数は使用された方法 (1 = ミルクが最初、0 = ミルクが最後) を表し、女性の推測 (1 = ミルクが最初に推測、0 = ミルクが最後に推測) を表します。行の合計は、各方法で準備されたカップの固定数です。女性は各カテゴリに 4 つのカップがあることを知っているので、各方法に 4 つのカップを割り当てます。したがって、列の合計も事前に固定されています。女性が違いを区別できない場合、およびは独立しており、ミルクが最初に正しく分類されたカップの数は超幾何分布に従います。${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ n_{1}=4\ ,n_{0}=4~.}$${\displaystyle \ s_{1}=4\ ,s_{0}=4~.}$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ x_{11}\ }$${\displaystyle \ {\mbox{Hypergeometric}}(8,4,4)~.}$

Boschloo の検定は 2 番目のケース用に設計されているため、正確な無条件検定です。このようなケースの例は、2 つの患者グループ間でバイナリエンドポイントを比較する医療研究でよく見られます。表記法に従うと、 は、関心のある薬を投与される最初のグループを表します。は、プラセボを投与される 2 番目のグループを表します。は、患者の治癒を示します (1 = 治癒、0 = 治癒なし)。行の合計はグループ サイズに等しく、通常は事前に固定されています。列の合計は、それぞれ治癒の総数と病気の継続であり、事前に固定されていません。 ${\displaystyle \ A=1\ }$${\displaystyle \ A=0\ }$${\displaystyle B}$

ピアソンのカイ二乗検定(「連続性補正」なし)は、行の合計にも列の合計にも制約がない 3 番目のケースの正しい選択です。この 3 番目のシナリオは、データが制御されていない環境で利用可能な状態で収集される、ほとんどの観察研究または「フィールド観察」を説明しています。たとえば、捕獲前に認識できる特定の事前に決定された識別可能な色の 2 種類の蝶を収集するために外出するとします。ただし、捕獲して詳しく調べる前に、蝶が種 1 か種 0 かを区別することはできません。追跡している蝶が 2 つの関心のある種のいずれかであるに違いないことは、色からわかるだけです。1 日の蝶の収集セッションでは、それぞれの種が何匹収集されるかを事前に決定することはできません。収集者の停止基準に応じて、捕獲された総数のみを事前に決定できます。種が表の別々の行に集計される場合、行の合計は制約されず、独立して二項分布します。捕獲された蝶の 2 番目の区別は、蝶が雌 (タイプ 1) か雄 (タイプ 0) かであり、列に集計されます。性別を判別するために蝶を詳しく調べる必要がある場合も、独立して二項ランダムになります。つまり、実験設計により、列の合計は行と同様に制約されません。つまり、いずれかの種の数も、各種で捕獲された蝶の性別の数も、観察のプロセスによって事前に決定されておらず、どちらの合計も他方を制約しません。

唯一の制約は捕獲された蝶の総数ですが、収集者がどこで止めるかによって、それ自体も制約されない可能性があります。しかし、特定の草原の特定の日について、収集に利用できる時間内にどれだけの成果が得られるかを事前に確実に知ることはできないため、総数でさえ制約されない可能性があります。収集されるデータに対する制約が、蝶を捕まえるのに利用できる時間なのか、それとも十分に有意な統計を確保するために収集される予定の合計なのかによって異なります。

このタイプの「実験」（「フィールド観察」とも呼ばれる）は、ほぼ完全に制御されていないため、「実験」ではなく「観察」と呼ぶことを好む人もいます。表内のすべての数字は独立してランダムです。分割表の各セルは個別の二項確率であり、Fisher の完全に制約された「正確な」テストも Boschloo の部分的制約テストも、実験設計から生じる統計に基づいていません。ピアソンのカイ 2 乗テストは、制約のない観察研究に適したテストですが、ピアソンのテストは、他の 2 種類の実験には間違った統計モデルを採用しています。 (ちなみに、ピアソンのカイ二乗統計には、いかなる「連続性補正」も適用すべきではありません。たとえば、「イェーツの補正」は適用しないでください。その「補正」の結果、 p値がフィッシャーの検定と一致するように歪められ、間違った答えが出てしまいます。)

Boschloo の片側検定の帰無仮説(対立仮説を支持する値が高い) は次のとおりです。 ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}$

片側検定の帰無仮説は、逆の方向（値が小さいほど対立仮説が有利）に定式化することもできます。 ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle H_{0}:p_{1}\geq p_{0}}$

両側検定の帰無仮説は次のとおりです。

${\displaystyle H_{0}:p_{1}=p_{0}}$

フィッシャーの正確検定の両側バージョンの普遍的な定義はありません。^[3] Boschlooの検定はフィッシャーの正確検定に基づいているため、Boschlooの検定の普遍的な両側バージョンも存在しません。以下では、片側検定とを扱います。 ${\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}$

望ましい有意水準を で表します。フィッシャーの正確検定は条件付き検定であり、上記のケースの最初の場合に適しています。しかし、観測された列の合計が事前に固定されているとみなすと、フィッシャーの正確検定を 2 番目のケースにも適用できます。検定の真のサイズは、迷惑パラメータとによって決まります。サイズの最大値は等しい割合で取られ、 によって制御されることが示されています^[4]。^[1]しかし、Boschloo は、サンプルサイズが小さい場合、最大サイズは よりもかなり小さくなることが多いと述べています。これにより、検出力が望ましくないほど低下します。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \max \limits _{p_{1}\leq p_{0}}{\big (}{\mbox{size}}(p_{1},p_{0}){\big )}}$${\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Boschloo は、より大きな名目水準 で Fisher の正確検定を使用することを提案しました。ここで、 は、最大サイズが によって制御されるように、可能な限り大きく選択する必要があります。この方法は、との一般的な値を調べることができたため、Boschloo の出版当時は特に有利でした。これにより、Boschloo の検定を計算的に簡単に実行できました。 ${\displaystyle \alpha ^{*}>\alpha }$${\displaystyle \alpha ^{*}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}{\big (}{\mbox{size}}(p){\big )}\leq \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{*}}$${\displaystyle \alpha ,n_{1}}$${\displaystyle n_{0}}$

Boschloo のアプローチの決定ルールは、Fisher の正確検定に基づいています。検定を定式化する同等の方法は、Fisher の正確検定の p 値を検定統計量として使用することです。Fisher の p 値は、超幾何分布から計算されます (表記を簡単にするために、の代わりに と書きます)。 ${\displaystyle x_{1},x_{0}}$${\displaystyle x_{11},x_{01}}$

${\displaystyle p_{F}=1-F_{{\mbox{Hypergeometric}}(n,n_{1},x_{1}+x_{0})}(x_{1}-1)}$

の分布は、およびの二項分布によって決定され、未知の迷惑パラメータ に依存します。指定された有意水準に対して、の臨界値はを満たす最大値です。臨界値は、Boschloo の元のアプローチの公称水準に等しくなります。 ${\displaystyle p_{F}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle p_{F}}$${\displaystyle \alpha ^{*}}$${\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}P(p_{F}\leq \alpha ^{*})\leq \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{*}}$

Boschloo の検定は、未知の迷惑パラメータをパラメータ空間全体で最大値を取ることによって処理します。Berger & Boos の手順では、信頼区間で最大化し、 を追加するという異なるアプローチを採用しています。^{[5] は}通常、0.001 や 0.0001 などの小さな値です。これにより、修正された Boschloo の検定が得られ、これも正確です。^[6]${\displaystyle p}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle P(p_{F}\leq \alpha ^{*})}$${\displaystyle (1-\gamma )}$ ${\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

すべての正確検定は指定された有意水準を保持しますが、状況によって検出力が変化する可能性があります。Mehrotraらは、さまざまな状況でのいくつかの正確検定の検出力を比較しました。^[6] Boschlooの検定に関する結果を以下にまとめます。

Boschloo 検定と修正 Boschloo 検定は、検討したすべてのシナリオで同様の検出力を持っています。Boschloo 検定は、場合によってはわずかに高い検出力を持ち、場合によってはその逆になります。

Boschloo の検定は、構造上、Fisher の正確検定よりも一様に強力です。サンプル サイズが小さい場合 (たとえば、グループあたり 10)、検出力の差は大きく、考慮されるケースでは 16 ～ 20 パーセント ポイントの範囲になります。サンプル サイズが大きいほど、検出力の差は小さくなります。

このテストは、テスト統計量に基づいています

${\displaystyle Z_{P}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{0}}})}}},}$

ここで、はグループイベント率、 はプールされたイベント率です。 ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}}$${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {x_{1}+x_{0}}{n_{1}+n_{0}}}}$

この検定の検出力は、ほとんどのシナリオで Boschloo の検定の検出力と同等です。場合によっては、-Pooled 検定の方が検出力が高く、その差は主に 1 ～ 5 パーセント ポイントの範囲です。ごくまれに、差が 9 パーセント ポイントに達することもあります。 ${\displaystyle Z}$

このテストは、Berger & Boos の手順で修正することもできます。ただし、結果として得られるテストの検出力は、すべてのシナリオにおいて修正されていないテストとほぼ同じです。

このテストは、テスト統計量に基づいています

${\displaystyle Z_{U}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{0}(1-{\hat {p}}_{0})}{n_{0}}}}}},}$

グループイベントの料金は どこにありますか。${\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}}$

この検定の検出力は、多くのシナリオで Boschloo の検定の検出力と同等です。場合によっては、-Unpooled 検定の方が検出力が高く、差は 1 ～ 5 パーセント ポイントの範囲になります。ただし、場合によっては、Boschloo の検定の方が明らかに検出力が高く、差は最大 68 パーセント ポイントになります。 ${\displaystyle Z}$

このテストは、Berger & Boos の手順で修正することもできます。 結果のテストは、ほとんどのシナリオで修正されていないテストと同様の検出力を持ちます。 場合によっては、修正によって検出力が大幅に向上しますが、Boschloo のテストとの全体的な検出力の比較は変わりません。

Boschloo 検定の計算は、次のソフトウェアで実行できます。

• SciPyの関数scipy.stats.boschloo_exact
• プログラミング言語RのパッケージExactおよびexact2x2
• スタットザクト

• フィッシャーの正確検定
• バーナードテスト