ボルスクの予想

幾何学におけるボルスク問題は、歴史的な理由^{[注 1]}により誤ってボルスク予想と呼ばれている離散幾何学の問題である。カロル・ボルスクにちなんで名付けられている。

問題

1932年、カロル・ボルスクは、^{ユークリッド}空間内の通常の3次元球は、それぞれが球よりも小さい直径を持つ4つの立体に簡単に分割でき、一般に $n次元球は球よりも小さい直径の$ $n$ $+ 1個の$ コンパクトな集合で覆われることを示した[2]。同時に、彼は $n$ 個の部分集合では一般に十分ではないことを証明した。この証明はボルスク・ウラム定理に基づいている。これにより、ボルスクは一般的な疑問に至った。^[2]

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge $E$ des Raumes in ( $n + 1$ ) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als $E$ hat? $\mathbb {R} ^{n}$
次の疑問は未解決のままです:空間のすべての有界部分集合 $E は$ 、それぞれが $E$ よりも小さい直径を持つ( $n$ $+ 1 ) 個の集合に$ 分割できますか? $\mathbb {R} ^{n}$

— Drei Sätze über die n-Dimensione euklidische Sphäre

次の場合には、この質問に対する回答は肯定的でした。

$n = 2$ — これは Karol Borsuk (1932) による元の結果です。
$n = 3$ — Julian Perkal (1947)^[3]によって示され、 8年後にはHG Eggleston (1955) によって独立に示されました。^[4]簡単な証明は後にBranko GrünbaumとAladár Heppesによって発見されました。
滑らかな凸体のすべての $nに対して —$ Hugo Hadwiger (1946) によって示された。^[5]^[6]
中心対称場のすべての $n$ に対して、AS Riesling（1971）によって示された。^[7]
回転体のすべての $n$ に対して、Boris Dekster (1995)によって示された。^[8]

この問題は、1993年にジェフ・カーンとギル・カライによって最終的に解決され、ボルスクの質問に対する一般的な答えはノーであることを示しました。^[9]彼らは、その構成により、 $n$ $= 1325$ および各 $n$ $> 2014に対して$ $n + 1$ ピースでは不十分であることが示されていると主張しています。しかし、ベルヌフ・ヴァイスバッハが指摘したように、^[10]この主張の最初の部分は実際には誤りです。しかし、対応する導出内の次善の結論を改善した後、構築された点集合の1つを $n$ $= 1325$ （および1560までのすべての高次元）の反例として実際に検証できます。^[11]

彼らの結果は2003年にヒンリヒスとリヒターによって改良され、 $n \geq 298の有限集合が構築されましたが、これは$ $n + 11$ のより小さな直径の部分に分割することはできませんでした。^[1]

2013年、アンドリー・V・ボンダレンコは、ボルスクの予想が $n \geq 65の$ すべてに対して偽であることを示した。^[12]その後まもなく、トーマス・ジェンリッヒはボンダレンコの構築から64次元の反例を導き出し、これまでで最高の境界を示した。^[13]^[14]

ピースの数 $α$ $($ $n$ $) >$ $n$ $+ 1$ となるような次元の最小数 $n を$ 見つけることとは別に、数学者は関数 $α$ $($ $n$ $)$ の一般的な動作を見つけることに興味があります。 Kahn と Kalai は、一般に (つまり、 $n が$ 十分に大きい場合)、多くのピースが必要であることを示しています。彼らはまた、 Oded Schrammによる上限を引用しています。Schramm は、 $n$ が十分に大きい場合、すべての $ε$ に対して、であることを示しました。^[15] $α$ $($ $n$ $)$ の正確な大きさの順序はまだわかっていません。^{[16]ただし、すべての} $n$ $\geq 1$ に対して $α$ $($ $n$ $) >$ $c$ $n$ となる定数 $c$ $> 1$ が存在すると推測されています。 ${\textstyle \alpha (n)\geq (1.2)^{\sqrt {n}}}$ ${\textstyle \alpha (n)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{n}}$

オデッド・シュラムも関連する問題に取り組んでおり、の単位球がである場合、一定幅の物体の有効半径はであるという。彼はの下限を証明し、はにおける一定幅 2 の物体の最小有効半径であり、すべてのに対してとなるが存在するかどうかを問うた。^[17]^[18]つまり、最小の一定幅の物体と最大の一定幅の物体の体積の差が指数関数的に増加する場合である。2024 年に、アルマン、ボンダレンコ、ナザロフ、プリマク、ラドチェンコによるプレプリントで、を満たす構成を与えてこの質問に肯定的に答えたと報告された。^[19]^[20]^[21] $K$ $r$ ${\text{Vol}}(K)=r^{n}{\text{Vol}}(\mathbb {B} ^{n})$ $\mathbb {B} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\sqrt {3+2/(n+1)}}-1\leq r_{n}$ $r_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\epsilon >0$ $r_{n}\leq 1-\epsilon$ $n\geq 2$ ${\text{Vol}}(K)\leq (0.9)^{n}{\text{Vol}}(\mathbb {B} ^{n})$

参照

凸体をそれ自身の小さなコピーで覆うことに関するハドヴィガーの予想
カーン・カライ予想

注記

^ ヒンリヒスとリヒターは彼らの研究の序文で次のように述べている^[1]。「ボルスクの予想は数十年間多くの人々に真実であると信じられていた」（そのため一般に予想と呼ばれている）ので、「カーンとカライが反対を示す有限集合を構築したときは驚きだった」。しかし、カロル・ボルスクは問題を単なる質問として定式化しており、予想される答えが肯定的であることを示唆していない。

参考文献

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^ Hadwiger, Hugo (1946)、「Mitpeilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers」、Commentarii Mathematici Helvetici (ドイツ語)、19 (1): 72–73、doi :10.1007/BF02565947、MR 0017515、S2CID 121053805
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^ Barber, Gregory (2024-09-20). 「数学者が数十年前の幾何学問題を解決するために新しい形状を発見」. Quanta Magazine . 2024-09-28閲覧。

さらに読む

Oleg Pikhurko、「組合せ論における代数的手法」、コースノート。
Andrei M. Raigorodskii、「Borsuk 分割問題: 70 周年」、Mathematical Intelligencer 26 (2004)、第 3 号、4 ～ 12 ページ。
Raigorodskii, Andreii M. (2008)。「Borsuk 分割問題に関する 3 つの講義」。Young, Nicholas、Choi, Yemon (編)。現代数学の概観。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第 347 巻。ケンブリッジ大学出版局。202 ～ 247 ページ。ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl 1144.52005.

外部リンク

Weisstein, Eric W.「Borsuk の予想」。MathWorld。

[WhyConjecture-2] ヒンリヒスとリヒターは彼らの研究の序文で次のように述べている^[1]。「ボルスクの予想は数十年間多くの人々に真実であると信じられていた」（そのため一般に予想と呼ばれている）ので、「カーンとカライが反対を示す有限集合を構築したときは驚きだった」。しかし、カロル・ボルスクは問題を単なる質問として定式化しており、予想される答えが肯定的であることを示唆していない。

[HinrRicht-1] Hinrichs, Aicke; Richter, Christian (2003年8月28日). 「大きなBorsuk数を持つ新しい集合」.離散数学. 270 (1–3). Elsevier : 137–147. doi : 10.1016/S0012-365X(02)00833-6 .

[BorsukFM-3] Borsuk、Karol (1933)、「Drei Sätze über die n-Dimensione euklidische Sphäre」 [n 次元ユークリッド球に関する 3 つの定理] (PDF)、Fundamenta Mathematicae (ドイツ語)、20 : 177–190、doi : 10.4064/fm-20-1-177-190

[4] Perkal、Julian (1947)、「Sur la subdivision des ensemble en party de diamètre inférieur」、Colloquium Mathematicum (フランス語)、2 : 45

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[7] Hadwiger, Hugo (1946)、「Mitpeilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers」、Commentarii Mathematici Helvetici (ドイツ語)、19 (1): 72–73、doi :10.1007/BF02565947、MR 0017515、S2CID 121053805

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[15] Jenrich, Thomas; Brouwer, Andries E. (2014)、「Borsukの予想に対する64次元の反例」、Electronic Journal of Combinatorics、21 (4): #P4.29、doi : 10.37236/4069、MR 3292266

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[17] Alon, Noga (2002)、「離散数学：方法と課題」、国際数学者会議論文集、北京、1：119-135、arXiv：math/0212390、Bibcode：2002math.....12390A

[18] Schramm, Oded (1988年6月). 「一定幅の集合の体積について」.イスラエル数学ジャーナル. 63 (2): 178–182. doi :10.1007/BF02765037. ISSN 0021-2172.

[19] Kalai, Gil (2015-05-19). 「組合せ幾何学における古くて新しい問題 I: Borsuk の問題を中心に」. arXiv : 1505.04952 [math.CO].

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[22] Barber, Gregory (2024-09-20). 「数学者が数十年前の幾何学問題を解決するために新しい形状を発見」. Quanta Magazine . 2024-09-28閲覧。