ティティウス・ボーデの法則

ティティウス・ボーデの法則（単にボーデの法則と呼ばれることもある）は、任意の惑星系における惑星間の間隔を予測する公式である。この公式によれば、外側に拡張すると、各惑星は太陽から前の惑星の約2倍離れるはずである。この仮説は、ケレス（小惑星帯）と天王星の軌道を正しく予測したが、海王星の軌道の予測には失敗した。この法則は、ヨハン・ダニエル・ティティウスとヨハン・エラート・ボーデにちなんで名付けられた。

その後のメアリー・アデラ・ブラッグとDEリチャードソンによる研究で、元の式は大幅に改訂され、その後新たな発見や観察によって検証された予測が行われた。これらの再定式化は、「ティティウス・ボーデ型法則の理論的意義を調査するための距離の最良の現象的表現」を提供している。^[1]

この法則は、地球の長半径が 10 に等しい 単位で、各惑星の太陽からの長半径を関連付けます。 ${\displaystyle ~a_{n}~}$

${\displaystyle ~a=4+x~}$

ここで、最初のステップを除いて、各値は前の値の 2 倍になります。この式には別の表現もあります。 ${\displaystyle ~x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768\ldots ~}$

${\displaystyle ~a=4+3\times 2^{n}~}$

結果の値を 10 で割って天文単位( AU ) に変換すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle ~n=-\infty ,0,1,2,\ldots ~.}$

${\displaystyle a=0.4+0.3\times 2^{n}~.}$

土星より遠い外側の惑星については、それぞれの惑星は前の天体よりも太陽からおよそ2倍離れていると予測されています。ティティウス・ボーデの法則では、土星、天王星、海王星、冥王星はそれぞれ約10、20、39、77  AUにあると予測されていますが、実際の値はそれぞれ10、19、30、40  AUに近いです。^[a]

ボーデの法則を近似する級数の最初の言及は、D.グレゴリー（1715）の教科書に見られる：^[2]

「...地球から太陽までの距離を10等分すると、水星までの距離は約4、金星までの距離は7、火星までの距離は15、木星までの距離は52、土星までの距離は95となる。」^[3]

^{グレゴリー（1715） [2] [3]}から言い換えられたと思われる同様の文章が、 1724年にC.ウォルフが出版した著作に登場する。

1764年にC.ボネットは次のように書いている: ^[4]

「我々は太陽系を構成する17個の惑星（つまり主要な惑星とその衛星）を知っているが、それ以上存在しないかどうかはわからない。」^{[4] [3]}

JD ティティウスは、1766 年にボネの著作を翻訳し、上記の記述に独自の段落を 2 つ追加しました。挿入箇所は、7 ページの下部と 8 ページの上部にあります。新しい段落は、ボネの元のフランス語テキストにも、イタリア語と英語への翻訳にも存在しません。

ティティウスの挿入されたテキストは 2 つの部分から構成されています。最初の部分では、太陽からの惑星の距離の連続について説明しています。

惑星同士の距離に注目すると、ほとんどすべての惑星が、その大きさに一致する比率で互いに離れていることがわかります。太陽から土星までの距離を 100 等分すると、水星は太陽から 4 等分、金星は 4+3=7 等分、地球は 4+6=10、火星は 4+12=16 等分されます。しかし、火星から木星にかけては、この正確な進行から逸脱していることに注目してください。火星からは 4+24=28 等分の空間が続きますが、これまでのところ、そこには惑星は発見されていません。しかし、主である建築家はその空間を空のままにしておけばよかったのでしょうか。まったくそうではありません。したがって、この空間は間違いなく火星の未発見の衛星に属していると仮定し、さらに、木星の周囲には、まだどの望遠鏡でも確認されていない小さな衛星がいくつかあることも付け加えておきましょう。この次に、私たちにとってまだ未踏の宇宙には、木星の影響圏が 4+48=52 部、土星の影響圏が 4+96=100 部あります。^{[引用が必要]}

1772年、当時25歳だったJEボーデは天文学の概要を出版し^[5] 、その中でティティウス（後の版では）を引用して次のような脚注を付けた：^{[b] [6]}

この後者の点は、特に、太陽からの距離に関して知られている 6 つの惑星の驚くべき関係から導かれるようです。太陽から土星までの距離を 100 とすると、水星は太陽から 4 の 4 倍離れています。金星は 4+3=7 です。地球は 4+6=10 です。火星は 4+12=16 です。ここで、この非常に整然とした進行にギャップが生じます。火星の後には 4+24=28 倍のスペースが続きますが、そこには惑星はまだ見られません。宇宙の創始者がこのスペースを空のまま残したと信じることができるでしょうか。もちろん信じられません。ここから木星までの距離は 4+48=52 倍、最後に土星までの距離は 4+96=100 倍です。^[6]

これら 2 つのステートメントは、その独特な表現や軌道に使用されている半径にもかかわらず、コスシストによる古いアルゴリズムに由来しているようです。^[c]

17世紀以前の先例が多数発見された。^{[要出典]ティティウスはドイツの哲学者}CFフォン・ヴォルフ（1679-1754）の弟子であり、ティティウスがボネットの著作に挿入した文章の2番目の部分はフォン・ヴォルフ（1723）の本にあり、^[7]ティティウスが彼からこの関係を学んだことを示唆している。ティティウス・ボーデの法則に関する20世紀の文献では、著者はフォン・ヴォルフであるとされている。^[要出典]以前のバージョンはD.グレゴリー（1702）によって書かれており、^[8]惑星間距離の連続が4、7、10、16、52、および100の比率2の等比数列になりました。これは最も近いニュートンの公式であり、ティティウスがボネットの本をドイツ語に拡張翻訳する（1766）何年も前に、ベンジャミン・マーティン（1747）^[9]とトマス・セルダ（1760年頃）^[10]も引用しました。その後2世紀にわたって、後続の著者は、以前の研究を知らないかのように、独自の修正版を発表し続けました。^[1]

ティティウスとボーデは、この法則が新しい惑星の発見につながることを期待し、実際、この法則とよく一致する距離を持つ天王星とケレスの発見がこの法則の名声に貢献しました。しかし、海王星の距離は非常に矛盾しており、実際、もはや惑星とは見なされていない冥王星は、ティティウス・ボーデの法則が天王星から次の惑星として予測した距離とほぼ一致する平均距離にあります。

最初に発表されたとき、この法則は、当時知られていたすべての惑星、すなわち水星から土星まで、おおよそ満たされていましたが、4番目と5番目の惑星の間には隙間がありました。ヴィカリウス（ヨハン・フリードリヒ）・ヴルム（1787年）は、ティティウス・ボーデの法則の修正版を提案し、当時知られていた木星と土星の衛星を考慮し、水星までの距離をより正確に予測しました。^[11]

ティティウス・ボーデの法則は興味深いとみなされていたが、1781年に天王星が発見されるまではそれほど重要ではなかった。天王星は偶然にもこの法則にほぼぴったり当てはまる。この発見に基づいて、ボーデは同時代の人々に5番目の惑星を探すよう促した。小惑星帯最大の天体であるケレスは、1801年にボーデが予測した位置で発見された。

当時、ボーデの法則は広く受け入れられていたが、1846年に海王星が法則に従わない場所で発見された。同時に、ベルト内で多数の小惑星が発見されたため、ケレスは主要な惑星ではなくなった。1898年、天文学者で論理学者のCS・ピアースは、ボーデの法則を誤った推論の例として挙げた。^[12]

1930年の冥王星の発見は、この問題をさらに混乱させた。冥王星はボーデの法則に従って予測された位置から遠く離れていたが、法則が海王星に指定した位置に非常に近かった。その後のカイパーベルトの発見、特に冥王星よりも質量が大きいにもかかわらずボーデの法則に当てはまらないエリス天体によって、この公式の信頼性はさらに低下した。^[13]

ティティウス・ボーデの法則は、惑星が天文単位の特定の距離に存在することを予測しており、これは太陽系の 惑星と 2 つの準惑星の観測データと比較できます。

1913年、オックスフォード大学の天文学者MAブラッグは、この法則を再検討しました。 ^[14] 彼女は惑星系の軌道と、外側のガス惑星である木星、土星、天王星の衛星系の軌道を分析しました。彼女は距離の対数を調べ、最良の「平均」差を見つけようとしました。

彼女の分析の結果、異なる式が導き出されました。

${\displaystyle \ {\mathsf {距離}}=A\cdot {\bigl [}\ B+f\left(\alpha +n\ \beta \right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ 1.7275\ {\bigr )}^{n}~.}$

特に、Blagg の式では、太陽系の法則は、 Titius、Bode などが使用した 元の値2ではなく、 1.7275の数列によって最もよく表されていたことに注意してください。

ブラッグは木星、土星、天王星の衛星系を調査し、それぞれに 同じ進行比1.7275を発見しました。

しかし、補正関数  fの最終的な形式は  、Blagg の 1913 年の論文では示されておらず、Blagg は、示された経験的数値は説明のためだけのものであると述べています。経験的形式はグラフの形で示されました (曲線上の点が 1913 年以前に発見された物体の経験的データと非常によく一致しているのは、それが経験的データだからです)。

経験的曲線にぴったり合う式を見つけることは困難であることが判明した。形状のフーリエ解析の結果、次の7項近似が得られた。 ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ f{\bigl (}\ \theta \ {\bigr )}\;=\;0.4594\;+\;\;&0.396\ \cos \!{\bigl ( }\ \theta -27.4^{\circ }\ {\bigr )}\;+\;0.168\ \cos \!{\bigl (}\ 2\ (\ \theta -60.4^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.062\ \cos \!{\bigl (}\ 3\ (\ \theta -28.1^{ \circ })\ {\bigr )}\;+\;\\\;+\;\;&0.053\ \cos \!{\bigl (}\ 4\ (\ \theta -77.2^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.009\ \cos \!{\bigl (}\ 5\ (\ \theta -22^{ \circ })\ {\bigr )}\;+\;0.012\ \cos \!{\bigl (}\ 7\ (\ \theta -40.4^{\circ })\ {\bigr )}~.\終了{aligned}}}$$

さらなる分析の後、Blaggは次のようなより単純な式を提示した。しかし、単純な式は経験的データへの適合度が低いという欠点がある。Blaggは論文の中でこれを正規化されていない形で提示しており、A、B、fの相対的な大きさが  あいまいである。ここでは正規化された形で示している（つまり、このバージョンの  fは0から1までの  範囲の値を生成するようにスケーリングされている）。^[15]

$${\displaystyle \ f{\bigl (}\ \theta \ {\bigr )}\;=\;0.249\;+\;0.860\ \left({\frac {\ \cos \ \Psi \ }{\ 3-\cos \!\left(\ 2\ \Psi \ \right)\ }}\;+\;{\frac {1}{\ 6-4\ \cos \!\left(\ 2\ \Psi -60^{\circ }\right)\ }}\right)\ ,}$$

どこ${\displaystyle \\Psi\equiv\theta -27.5^{\circ}~.}$

  以下の計算では、  関数fのこれらの式はどちらも  使用されません。ここでの計算は  、観測データに基づいて作成された 関数fのグラフに基づいています。

彼女の論文は1913年に発表され、1953年にA・E・ロイが別の問題を研究しているときにそれを見つけるまで忘れられていました。^[16] ロイは、ブラッグ自身が彼女の公式が1913年当時まだ発見されていなかった他の天体のおおよその平均距離を与えることができると示唆していたことを指摘しました。それ以来、ブラッグが調査した3つのシステムで、冥王星、シノペ（木星IX）、リシテア（J X）、カルメ（J XI）、アナンケ（J XII ）、ミランダ（天王星V ）の6つの天体が発見されました。

ロイは、6つすべてが非常によく一致していることを発見した。これは誇張だったかもしれない。6つの天体のうち4つは、1913年にすでに知られていた天体と同じ位置にあった。他の2つについては、冥王星が約6％過大評価され、後にミランダが6％過小評価されたことが明らかになった。^[15]

括弧内の天体は、Blagg が論文を書いた 1913 年には知られていませんでした。土星系と天王星系で計算された距離の一部は、あまり正確ではありません。これは、上の表の定数Bの値が低いため、関数  fの正確な形に非常に敏感になるためです 。

1945年のポピュラーアストロ^{ノミー誌の記事[17]}で、 科学ライターのDEリチャードソンは明らかにブラッグと同じ結論に独自に到達した。つまり、累進比は2ではなく1.728であるということである。彼の間隔法則は次の形式である。

$${\displaystyle \ R_{n}={\bigl (}\ 1.728\ {\bigr )}^{n}\ \varrho _{n}(\theta _{n})\ ,}$$

ここで、は周期 の振動関数であり、中心からずれた原点から楕円上の点までの距離を表します。 ${\displaystyle \varrho_{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \varrho_{n}}$

ティティウス・ボーデの法則に関する最初の現代的な包括的レビューを行ったニエト^[18]は、「この法則は天文学において心理的に大きな影響力を持っており、人々は常にその本来の形を理論の基礎とみなす傾向があった」と指摘した。彼は「将来の理論は、進行比2を説明しようとする偏見を捨て去らなければならない」と強調した。

強調する必要があることの 1 つは、累進比 2 に対する歴史的な偏りを捨て去る必要があるということです。ティティウスの最初の定式化 (非対称な最初の項を含む) は、最初の推測として適切であると見なされるべきであることは明らかです。もちろん、理論の参照として必ずしも最善の推測と見なされるべきではありません。しかし、天文学では歴史の重みは重いです... 1.73 という数字の方がはるかに優れているという事実にもかかわらず、天文学者は元の数字 2 に固執しています。^[1]

ティティウス・ボーデの法則には確固とした理論的説明はないが、軌道共鳴と自由度の不足の組み合わせを考えると、安定した惑星系はティティウス・ボーデ型の関係を満たす可能性が高い可能性がある。これは「自然法則」というよりは数学的な偶然である可能性があるため、「法則」ではなく規則と呼ばれることもある。^[19] 天体物理学者の アラン・ボスは、これは単なる偶然であり、惑星科学誌「イカロス」はもはや「法則」の改良版を提示しようとする論文を受け入れていないと述べている。^[13]

主要な軌道天体の軌道共鳴により、太陽の周りには長期安定軌道のない領域が形成される。惑星形成のシミュレーションの結果は、ランダムに選択された安定した惑星系がティティウス・ボーデの法則を満たす可能性が高いという考えを支持している。^[20]

デュブルとグラナー^{[21] [22]}は、べき乗法則の距離則は、回転不変性（つまり、雲とその内容物が軸対称である）とスケール不変性（つまり、雲とその内容物がすべてのスケールで同じに見える）という2つの対称性を持つ惑星系の崩壊雲モデルの結果である可能性があることを示した。後者は、乱流など、惑星の形成に役割を果たすと考えられている多くの現象の特徴である。

現時点では、ボーデの法則を検証できるシステムは限られている。2つの太陽系惑星には、惑星の形成過程と似た過程を経て形成されたと思われる大きな衛星が十分に存在する。木星の4つの大きな衛星と最大の内側の衛星（アマルテア）は、規則的ではあるがティティウス・ボーデの法則に反する間隔を保っており、最も内側の4つの衛星は、それぞれ次の内側の衛星の2倍の軌道周期に固定されている。同様に、天王星の大きな衛星は、規則的ではあるがティティウス・ボーデの法則に反する間隔を保っている。^{[23]しかし、}マーティン・ハーウィット によれば、

「この法則を少し新しく表現すると、太陽の周りの惑星の軌道だけでなく、親惑星の周りの衛星の軌道も含めることができます。」^[24]

この新しい表現は「ダーモットの法則」として知られています。

最近の太陽系外惑星系の発見のうち、同様の規則が当てはまるかどうかをテストできるほどの惑星が知られているものはほとんどありません。55 Cancriでの試みでは、次の式が示唆されました 。

${\displaystyle ~a_{n}=0.0142\cdot \mathrm {e} ^{\left(\,0.9975\,n\,\right)}=0.0142\cdot {\bigl (}\,2.7115\,{\bigr )}^{n}~,}$

そして議論を呼んでいるが^[25]、 2  AUのところ に未発見の惑星または小惑星帯が存在すると予測している。^[26] さらに、55 Cancri系の最も内側の惑星の公転周期と軌道長半径は、これらの研究の発表以来、大幅に修正されている（それぞれ2.817日から0.737日と0.038  AUから0.016  AUへ）。^[27]${\displaystyle ~n=5~}$

最近の天文学的研究では、他のいくつかの恒星の周りの惑星系がティティウス・ボードの法則に似た法則に従う可能性があることが示唆されています。^{[28] [29]} Bovaird & Lineweaver (2013) ^{[30] は、} 一般化されたティティウス・ボードの関係を、4つ以上の惑星を含む68の太陽系外惑星系に適用しました。彼らは、これらの太陽系外惑星系の96％が、太陽系と同等かそれ以上の程度で一般化されたティティウス・ボードの関係に従っていることを示しました。各系で、検出されていない可能性のある太陽系外惑星の位置が予測されています。^[30]

その後の研究では、68の惑星系に予測された97の惑星から5つの候補惑星が検出された。この研究では、実際の惑星の数はもっと多い可能性があることが示された。火星や水星サイズの惑星の発生率は不明であるため、多くの惑星が小さいために見逃されている可能性がある。明らかな矛盾を説明する可能性のある他の理由としては、惑星が恒星を通過しないことや、予測された空間が恒星周円盤で占められている状況などが挙げられる。これらの種類の許容範囲にもかかわらず、ティティウス・ボーデの法則の予測で発見された惑星の数は予想よりも少なかった。^[31]

2018年の論文では、ティティウス・ボーデの法則を用いて、 TRAPPIST-1の周囲に「TRAPPIST-1i」と名付けられた仮想の第8惑星が存在するというアイデアが提案された。TRAPPIST-1iは、ティティウス・ボーデの法則のみに基づいて、公転周期が27.53±0.83日と予測された。^[32]

最後に、太陽系外惑星の軌道から得られた生の統計は、すべての太陽系外惑星系においてティティウス・ボーデの法則（惑星指数の関数として軌道長半径が指数関数的に増加する）が一般的に満たされていることを強く示唆している。この等級が知られているすべての既知の太陽系外惑星の軌道長半径のブラインドヒストグラムを作成し、^[33]惑星がティティウス・ボーデの法則に従って分布している場合に予想される値と比較すると、かなりの程度の一致（つまり、78%）が得られる^[34] 。

• ダーモットの法則
• フェートン（仮想惑星）
• 対数螺旋
• レナード・ジョーンズの可能性
• ミステリウム・コスモグラフィカム

• マシューズ、ロバート (1994 年 4 月 9 日)。「惑星の間隔を空けた幽霊の手」ニューサイエンティスト、p. 13。
• Perdijk, HJR「ティティウス・ボーデの法則の説明」。植物と惑星。2014年7月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月26日閲覧– kpn.nl経由。{{cite web}}: CS1 メンテナンス: 不適切 URL (リンク)— 神秘的で推測的。参考図はアーカイブから欠落している
• パレス・イ・ファラス、ラモン博士（2016）。 Distancias planarias y ley de Titius-Bode [惑星の距離とティティウス・ボードの法則] (PDF) (人気の天文学エッセイ) (スペイン語) 。2024 年1 月 26 日に取得– wix.com 経由。{{cite report}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)—距離測定の歴史とティティウスの法則の発展、それに関わった著名な天文学者、そして現代の惑星と衛星の距離のグラフと簡単な比率による説明を組み合わせたもの