ベッツの法則

空気力学において、ベッツの法則は、開放流における風力タービンの設計とは無関係に、風から抽出できる最大出力を示す。この法則は、1919年にドイツの物理学者アルベルト・ベッツによって発表された。^{[1]この法則は、風の流れからエネルギーを抽出する理想的な「}アクチュエータディスク」を流れる空気流の質量と運動量保存の原理から導かれる。ベッツの法則によれば、いかなるメカニズムの風力タービンも、風の運動エネルギーの16/27（59.3%）以上を捕捉することはできない。係数16/27（0.593）はベッツ係数として知られている。実用的な実用規模の風力タービンは、ピーク時にベッツ限界の75～80%を達成する。^{[2] [3]}

ベッツ限界はオープンディスクアクチュエータに基づいています。ディフューザーを使用して追加の風の流れを集め、それをタービンに通すと、より多くのエネルギーを抽出できますが、この限界は構造全体の断面に適用されます。

ベッツの法則は、風を含むすべてのニュートン流体に適用されます。タービンを通る風の動きから得られるエネルギーがすべて有用なエネルギーとして抽出された場合、その後の風速はゼロに低下します。風がタービンの出口で動きを止めた場合、それ以上新鮮な風は入ることができず、ブロックされます。タービンを通る風の動きを維持するには、反対側に、たとえ小さくても、風速がゼロより大きい風の動きが必要です。ベッツの法則は、空気が特定の領域を流れるとき、および風速がエネルギーを失ってタービンから抽出されるまで遅くなるにつれて、気流がより広い領域に分散される必要があることを示しています。結果として、形状によってタービンの最大効率が制限されます。

イギリスの科学者フレデリック・W・ランチェスターは1915年に同じ最大値を導き出しました。ロシアの空気力学学派の指導者ニコライ・ジュコウスキーも、ベッツと同じ年、1920年に理想的な風力タービンについて同じ結果を発表しました。^[4]これは、科学的発見は実際の発見者にちなんで名付けられないという スティグラーの法則の一例です。

ベッツ限界とは、ある速度で流れる流体から無限に薄いローターによって抽出できる最大のエネルギーである。^[5]

薄いローター（例えば風力タービン）の最大理論効率を計算するには、ローターを、通過する流体からエネルギーを取り除くディスクに置き換えたと想像します。このディスクの後ろの一定の距離では、ディスクを通過した流体の速度は低下しますが、ゼロではありません。^[5]

1. ディスクはハブのない理想的なものです (そのため、ローターとして概念化した場合、抵抗のないブレードが無限に存在する可能性があります)。非理想的な要素があると、効率が低下すると想定されます。
2. 実質的に 1 次元モデルであるため、ディスクへの流入と流出は軸方向であり、すべての速度は横方向に均一です。これは制御ボリューム解析です。保存方程式を使用するには、制御ボリュームにすべての流入と流出の流れが含まれている必要があります。
3. 流れは非圧縮性です。密度は一定で、熱伝達はありません。
4. ディスクには均一な圧力が適用されます。(この 1 次元モデルでは、圧力に対する半径方向の依存性はありません。)

制御体積に質量保存則を適用すると、質量流量（単位時間あたりに流れる流体の質量）は

$${\displaystyle {\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},}$$

ここで、v ₁はローターの前面の速度、v ₂はローターの下流の速度、vは流体動力装置の速度、ρは流体の密度、はタービンの面積、およびはタービンの前後の流体の面積（制御容積の入口と出口）です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$

密度と面積および速度の積は、タービンの前、タービンを通過している間、タービンを過ぎた 3 つの領域のそれぞれで等しくなければなりません。

ローターが風に及ぼす力は、空気の質量と加速度の積です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=ma\\&=m{\frac {dv}{dt}}\\&={\dot {m}}\,\Delta v\\&=\rho Sv (v_{1}-v_{2}).\end{整列}}}$$

部隊によって 行われた増分作業は次のように記述される。

$${\displaystyle dE=F\,dx,}$$

そして風の力（仕事率）は

$${\displaystyle P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.}$$

上記で計算した力Fを電力方程式に代入すると、風から抽出される電力が得られます。

$${\displaystyle P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).}$$

しかし、動力は運動エネルギーを使って別の方法で計算することができます。制御体積にエネルギー保存則を適用すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2 }^{2}).}$$

連続方程式から質量流量を代入すると、

$${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).}$$

どちらの式も有効です。1つは増分仕事量を調べることで導き出され、もう1つはエネルギー保存則から導き出されました。この2つの式を等しくすると、

$${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1} -v_{2}).}$$

密度はどのvとSに対してもゼロにはならないので 、

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})={\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_ {2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2}),}$$

または

$${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).}$$

ローターを横切る一定の風速は、上流と下流の速度の平均として考えることができます。これは、ベッツの法則の導出において最も直感に反する段階であると言えます。これは、アクチュエータ ディスク領域での半径方向の質量流を許さない「軸流」仮定の直接的な結果です。^[6] アクチュエータ領域で質量の流出がなく、直径が一定であるため、相互作用領域で空気速度は変化しません。したがって、相互作用領域の前後以外でエネルギーを抽出することはできず、アクチュエータ ディスクの空気速度は平均に固定されます。(この制限を取り除くと、ベッツの法則で許容されるよりも高いパフォーマンスが得られる可能性がありますが、他の半径方向の影響も考慮する必要があります。^[6]この一定速度の影響は、無視される半径方向の運動エネルギー損失とは異なります。^[7] )

運動エネルギーに基づく電力の前の式に戻ります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).\end{aligned}}}$

与えられた流体速度v ₁と与えられた面積Sについて を について微分する ことにより、の最大値または最小値が求められます。 結果は、のときに が最大値に達するということになります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}$

この値を代入すると、

$${\displaystyle P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$$

断面積S、速度v ₁の流体シリンダーから得られる動力は、

$${\displaystyle P=C_{\text{P}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$$

ベッツ効率計算の基準となる電力は、断面積S、速度v ₁の円筒内の流体の移動における電力である。

$${\displaystyle P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$$

出力係数^[9] C _P (= P / P _wind ) は、抽出可能な出力Pと未分配流で利用可能な運動出力P _wind^{の無次元比です。 [要出典]} 最大値はC _{P  max}  = 16/27 = 0.593 (または 59.3%) ですが、性能係数は通常、パーセンテージではなく小数で表されます。結果の式は次のようになります。

$${\displaystyle C_{P}\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right)}$$

現代の大型風力タービンは、C _Pのピーク値が0.45 ～ 0.50 の範囲に達し、^{[2] [全文引用必要]}理論的に可能な最大値の約 75 ～ 85% に相当します。タービンが定格出力で稼働している高風速では、タービンはブレードを回転 (ピッチング) させてC _Pを下げ、損傷からタービンを保護します。風の力は 12.5 m/s から 25 m/s まで 8 倍に増加するため、C _{P も}それに応じて低下する必要があり、風速 25 m/s では 0.06 まで低下します。

流出する風と流入する風の速度比は、流出する空気には流入する空気の運動エネルギーのみがあり、流入する空気のエネルギーが抽出されたことを意味します。これは正しい計算ですが、最終的にローターを通過する流入空気のみを考慮しています。 ${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}})^{2}={\tfrac {1}{9}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$

ベッツ効率C _{p を}計算する最後のステップは、計算された流れから抽出された電力を基準電力で割ることです。ベッツ解析では、基準電力として、ローターの断面積SをV ₁で流れる上流の空気の電力を使用します。ベッツ限界では、ローターは、または入ってくる運動エネルギーの を 抽出します。${\displaystyle A_{1}={\tfrac {2}{3}}S}$${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {16}{27}},}$

ローターを流れる風の断面積が変化するため、ローターの軸に垂直な方向に空気の流れがいくらかあるはずです。計算ではシステム内の空気の初期状態と最終状態のみが考慮されるため、この放射状の流れに関連する運動エネルギーは計算に影響しません。

これは、あらゆる風力タービンによるエネルギー抽出の決定的な上限であるとよく宣伝されていますが（例：^{[10] [11] ）、そうではありません。論文の誤解を招くタイトルにもかかわらず、 [12]}ベッツ氏（およびランチェスター氏）は、そのような無条件の主張をしたことはありません。^[1]注目すべきことに、ベッツ最大効率で稼働している風力タービンは、風速の伴流がゼロではありません。^{[2] [1]}最初のアクチュエータディスクの下流に配置されたアクチュエータディスクはどれも、追加の電力を抽出するため、組み合わせたデュアルアクチュエータ複合体はベッツ限界を超えます。^{[13] [14]}この考慮が成り立つためには、2番目のアクチュエータディスクが遠方場風域（平行流線）にある必要はありませんが、そうである必要はありません。^[6]

エネルギーとフラックスの保存則のみに基づく法則に対するこの驚くべき例外の理由は、流線内の軸方向の風のプロファイルが横方向に均一であるという、一見控えめな仮定に潜んでいます。たとえば、前述のデュアルアクチュエータ風力タービンは、下流に2つの異なる速度を持つ横方向の風のプロファイルを持ち、したがって単一のアクチュエータディスクの制限に縛られません。^[6]

数学的には、単一アクチュエータ ディスクの導出には、風が「無限に薄い」アクチュエータを通過するときに速度が変化しないという仮定が暗黙的に埋め込まれています。対照的に、デュアル アクチュエータ ハイブリッドでは、風は通過するときに速度が変化するため、導出の重要なステップである一定速度を要求することが無効になります。単一の無限に薄いアクチュエータでは、そうでなければフラックスを保存しないため速度を変更できませんが、ハイブリッド ペアでは、フラックスをアクチュエータ間で (断面の外側で) 放出できるため、入口速度とは異なる最終出口速度が可能になります。^{[6] [13] [14]}

物理的な多軸ロータ風力タービンが解析されている。^[10]実際にはベッツ限界を超えることはないが、これはロータが損失を持つだけでなく、角運動量にも従わなければならないことと、^{ベッツ限界以下に効率を制限する}ブレード要素運動量理論に起因している可能性がある。^[7]

現代の研究では、ベッツの法則の導出における「不必要な仮定」を取り除くと、より緩やかな上限が達成できることが示唆されている。^[16]${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

実際の風力タービンのほとんどは空気力学的に「薄い」ため、ベッツの法則の仮定に近似しています。一般的な風力タービンがベッツの法則の仮定に近似する限り、ベッツの限界は、サイトで抽出できる年間エネルギーのおおよその上限を設定します。仮想的な風が 1 年間一貫して吹いたとしても、アクチュエータ ディスク モデルによって十分に近似された風力タービンは、その年の風に含まれるエネルギーのベッツの限界を超えて抽出することはできません。

基本的に、システムの経済効率の向上は、ベーン露出面積 1 平方メートルあたりの単位当たりの生産量の増加によってもたらされます。電力生産コストを下げるには、システム効率の向上が必要です。効率の向上は、風力タービンの構成や動力学などの風力捕捉装置のエンジニアリングの結果である可能性があり、ベッツ限界内でこれらのシステムからの発電量を増やすことができます。電力の適用、伝送、または貯蔵におけるシステム効率の向上も、単位当たりの電力コストの削減に貢献する可能性があります。

ベッツ導出法^[17]の仮定は、それが適用される風力タービンの性質にいくつかの物理的な制限を課します (たとえば、入口/出口の速度が同一であること)。しかし、それらの仮定を超えると、ベッツ限界は風力抽出システムの内部機構に依存しないため、流れが入口から制御ボリューム、そして出口まで移動し、制御ボリュームの入口速度と出口速度が均一である限り、 Sはどのような形をとることができます。この解析は摩擦を無視するように理想化されているため、外部の影響はシステム (通常はタービン) の性能を低下させるだけです。非理想的な影響は、流入する流体で利用できるエネルギーを減らし、全体的な効率を低下させます。

一部の製造業者や発明家は、ノズルやその他の風向転換装置を使用することで、通常はベッツ限界を誤って伝え、システムから抽出される風力エネルギーに寄与する空気の総入力ではなく、ローター面積のみを計算することによって、限界を超えたと主張してきました。

ベッツ限界は、風力自動車などの移動用途のタービン効率を計算する際には無関係である。なぜなら、タービンディスク（または同等のもの）を通る流体の流れがわずかに遅くなるだけで、効率は理論的にはブレード損失を差し引いた100%に近づく可能性があるからである。これには無限に大きい構造が必要になるため、実際の装置では90%以上を達成することはめったにない。高いタービン効率で流体の流れから抽出される電力量はベッツ限界よりも少なく、これは同じタイプの効率ではない。^[要出典]

1934年にH.グラウアートは、ローター面全体のエネルギーバランスを適用することで、速度の角成分を考慮したタービン効率の式を導き出しました。^[15]グラウアートモデルによれば、効率はベッツ限界を下回り、先端速度比が無限大になると漸近的にこの限界に近づきます。

2001 年に、Gorban、Gorlov、および Silantyev は、タービン面全体の非均一な圧力分布と曲線流 (Betz アプローチには含まれていない問題) を考慮した正確に解けるモデル (GGS) を発表しました。^{[7]彼らは、アクチュエータの後ろの乱流後流を「退化した」流れとして記述し、退化した領域の外側でオイラー方程式を使用する}Kirchhoffモデル^[18]を利用して修正しました。GGS モデルは、タービンを通過する流量が全流量の約 61% のときにピーク効率が達成されると予測しており、これはピーク効率をもたらす流量の2 ⁄ 3という Betz の結果と非常によく似ていますが、GGS はピーク効率自体は 30.1% とはるかに小さいと予測しました。

2008年には、数値流体力学（CFD）に基づく粘性計算が風力タービンのモデリングに適用され、実験と十分に一致することが実証されました。^[19]計算された最適効率は、通常、ベッツ限界とGGS解の間になります。

• ピエール・ルカヌ、ジョエル・ブレアード、ドミニク・ムアゼ。ベッツ限界を垂直軸風力タービン理論に適用