ベナセラフの識別問題

数学の哲学において、ベナセラフの同一視問題は、集合論的プラトン主義に対してポール・ベナセラフが展開した哲学的議論であり、1965年に「数にはあり得ないもの」と題する論文で発表された。^{[1] [2]歴史的に、この研究は}数学的構造主義 の発展を促す重要な触媒となった。^[3]

識別問題は、自然数を純粋集合に還元すること に根本的な問題があると主張している。自然数を純粋集合と同一視する方法は無数に存在するため、特定の集合論的手法を「真の」還元として決定することはできない。ベナセラフは、そのような還元を選択しようとすると、即座にメタレベルの集合論的虚偽、つまり、選択されたものとは同一ではない他の基本的同値集合論との関係で虚偽が生じると推論している。^[1] 識別問題は、これがプラトン主義にとって根本的な問題を引き起こすと主張している。プラトン主義は、数学的対象は実在する抽象的な存在であると 主張している。プラトン的集合論に対するベナセラフのジレンマは、自然数を純粋集合に還元する「真の」還元を、これらの抽象的な数学的対象に固有の性質を明らかにするものとして識別しようとするプラトン主義の試みは不可能であると主張している。 ^{[1]その結果、識別問題は最終的に、集合論と自然数の関係は}存在論的にプラトン的性質 を持つことはできないと主張している。^[1]

ベナセラフの同一視問題が発展した歴史的な動機は、存在論の根本的な問題に由来する。中世以来、哲学者たちは数学の存在論が抽象的対象を含むかどうかについて議論してきた。数学の哲学では、抽象的対象は伝統的に、(1)精神から独立して存在する、(2)経験的世界から独立して存在する、(3)永遠で不変の特性を持つ実体として定義される。 ^{[4]伝統的な数学的プラトン主義は、}自然数、実数、関数、関係、システムといった 数学的要素の集合がそのような抽象的対象であると主張する。対照的に、数学的唯名論は数学の存在論におけるそのような抽象的対象の存在を否定する。

19 世紀後半から 20 世紀初頭にかけて、反プラトン主義のプログラムが数多く人気を博しました。これには、直観主義、形式主義、述語主義が含まれます。しかし、20 世紀半ばまでに、これらの反プラトン主義の理論には独自の問題がいくつかありました。その結果、プラトン主義への関心が再び高まりました。この歴史的背景の中で、同一視の問題の動機が生まれました。

識別問題は、自然数の集合論的モデルの基本的同値性を証明することから始まります。^[1] ベナセラフは、そのような集合論的手法を2つ検討しています。

集合論的方法 I (ツェルメロ順序数を使用)

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\varnothing \\&1=\{\,0\,\}=\{\,\varnothing \,\}\\&2=\{\,1\,\}=\{\,\{\,\varnothing \,\}\,\}\\&3=\{\,2\,\}=\{\,\{\,\varnothing \,\}\,\}\\&\,\,\,\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

集合論的方法 II (フォン・ノイマン順序数を使用)

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\varnothing \\&1=\{\,0\,\}=\{\,\varnothing \,\}\\&2=\{\,0,1\,\}=\{\,\varnothing ,\{\,\varnothing \,\}\,\}\\&3=\{\,0,1,2\,\}=\{\,\varnothing ,\{\,\varnothing \,\},\{\,\varnothing ,\{\,\varnothing \,\}\,\}\\&\,\,\,\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Benacerraf が示すように、方法 I と II はどちらも自然数を集合に還元します。^[1] Benacerraf はこのジレンマを、これらの集合論的方法のどれが、自然数の真の存在論的性質を明らかにする真の恒等式ステートメントを一意に提供するのか、という問題として定式化します。^[1] 方法 I と II のどちらも、自然数を定義し、続いて真の算術ステートメントを生成して数学システムを形成するために使用できます。それらの関係において、このような数学システムの要素は、その構造において同型です。ただし、これらの同型構造がメタレベルで関連付けられると問題が発生します。システム I の定義と算術ステートメントは、システム II の定義と算術ステートメントと同一ではありません。たとえば、2 つのシステムは、∅ が {{∅}} の要素でない限り、0 ∈ 2 かどうかに対する答えが異なります。したがって、恒等式の推移性が満たされないという点では、真の恒等式ステートメントの探索も同様に失敗^[1]自然数を集合に還元しようとすると、異なる数学体系の同型構造の間に集合論的な誤りが生じます。これが識別問題の本質です。

彼はまた、ペネロピ・マディが『数学における実在論』で述べている物語でこれを実証しています。

「アーニーとジョニーはどちらも集合論で育てられました。算数を学ぶ時が来ると、アーニーは、0 (「ゼロ」と呼ばれます)、{0} (「1」と呼ばれます)、(0, {0}} (「2」と呼ばれます) など、すでに数について知っていると聞かされ、大喜びしました。教師はこれらの集合に対する加算と乗算の演算を定義し、すべての再ラベル付けが完了すると、アーニーは学校の友達と同じように数え、算数をします。ジョニーの話もまったく同じですが、ツェルメロ順序数が数であると教えられています。ジョニーも、学校の友達やアーニーと意見を合わせて数え、算数をします。2人は一緒に計算したり、素数について学んだり、完全数を探したりすることを楽しんでいます。しかし、アーニーとジョニーは好奇心旺盛な少年で、数という素晴らしいものについてできる限りのことを知りたがります。その過程で、アーニーは、1 が 2 の 1 つのメンバーであるという驚くべき事実を発見します。 3. 実際、彼は一般化して、n が m より大きい場合、m は n の要素であると主張します。熱意に満ちた彼は、この事実をお気に入りの遊び仲間に伝えます。しかし、悲しいことに、芽生えた数学的なコラボレーションはここで崩壊します。ジョニーはアーニーの熱意を共有できないだけでなく、貴重な定理が完全に間違っていると断言します。彼は 3 に 3 つの要素があることさえ認めません！」^[5]

ベナセラフによれば、この同一化問題の哲学的影響により、プラトン的アプローチは存在論的テストに合格しないことになる。^[1] この議論は、プラトン主義が数を集合に還元し、抽象的な対象の存在を明らかにすることが不可能であることを示すために用いられる。

• ベナセラフの認識論的問題

• Benacerraf, Paul (1973)「数学的真実」、Benacerraf & Putnam Philosophy of Mathematics: Selected Readings、ケンブリッジ: Cambridge University Press、第 2 版。1983 年、403 ～ 420 ページ。
• ヘイル、ボブ (1987) 『抽象オブジェクト』 オックスフォード: バジル ブラックウェル。ISBN 0631145931