バスの定理

させて${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$そして${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$周辺分布は${\displaystyle T}$そして${\displaystyle A}$それぞれ。

で表す${\displaystyle A^{-1}(B)}$集合の逆像${\displaystyle B}$地図の下${\displaystyle A}$任意の可測集合に対して${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$我々は持っています

${\displaystyle P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}(B))=\int _{Y}P_{\theta }(A^{-1}(B)\mid T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt).}$

分布${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$依存しない${\displaystyle \theta }$ なぜなら${\displaystyle A}$ は補助的なものです。同様に、${\displaystyle P_{\theta }(\cdot \mid T=t)}$依存しない${\displaystyle \theta }$なぜなら${\displaystyle T}$で十分です。したがって

${\displaystyle \int _{Y}{\big [}P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0.}$

被積分関数（積分内の関数）は、${\displaystyle t}$そしてそうではない${\displaystyle \theta }$したがって、${\displaystyle T}$関数は限定的に完全である

${\displaystyle g(t)=P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B)}$

ゼロの場合${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$ほぼすべての値${\displaystyle t}$そしてこうして

${\displaystyle P(A^{-1}(B)\mid T=t)=P^{A}(B)}$

ほぼすべての${\displaystyle t}$。 したがって、${\displaystyle A}$独立している${\displaystyle T}$。

X ₁、X ₂、 ...、X _{n を}、平均μと分散σ ²を持つ独立同分布の正規確率変数とする。

すると、パラメータμに関して、次のことが示される。

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

標本平均は、完全かつ十分な統計量である。つまり、μを推定するために得られるすべての情報であり、それ以上ではない。

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

標本分散は補助統計量であり、その分布はμに依存しない。

したがって、Basuの定理から、これらの統計量は条件付きで独立であることが導かれる。${\displaystyle \mu }$条件付き${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

この独立性の結果は、コックランの定理によっても証明できる。

さらに、この性質（正規分布の標本平均と標本分散が独立であること）は正規分布の特徴であり、他の分布にはこの性質はありません。 ^{[ 3 ]}