厳密なフィードバックフォーム

制御理論において、動的システムは、次のように表現できる場合に厳密フィードバック形式である。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{0}(\mathbf {x} )+g_{0}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}}$

どこ

• $\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$と${\displaystyle n\geq 1}$、
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}}$スカラーです、
• ${\displaystyle u}$はシステムへのスカラー入力であり、
• ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}$原点で消滅する（つまり、${\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}$)
• ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}$関心領域全体でゼロではない（つまり、${\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}$のために${\displaystyle 1\leq i\leq k}$)

ここで、厳密なフィードバックとは、非線形関数が${\displaystyle f_{i}}$そして${\displaystyle g_{i}}$で${\displaystyle {\dot {z}}_{i}}$方程式は状態のみに依存する${\displaystyle x,z_{1},\ldots ,z_{i}}$それらはそのサブシステムにフィードバックされる。^{[ 1 ]}つまり、システムは一種の下三角形をしている。

厳密フィードバック形式のシステムは、バックステッピングの再帰的適用によって安定化できる。^{[ 1 ]}つまり、

1. システムが

   ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{0}(\mathbf {x} )+g_{0}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

   何らかの制御によって既に原点に安定化されている${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$どこ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$つまり、$u_x$このシステムを安定化させるには、別の方法を用いる必要がある。また、リアプノフ関数が${\displaystyle V_{x}}$この安定したサブシステムについては、既知の情報が存在する。

2. 制御${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$システムは、

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$

   安定化されているため、$\displaystyle z_{1}}$望ましいものに従う$u_x$制御。制御設計は拡張リアプノフ関数候補に基づいている。

   ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

   コントロール$u_1$選択してバインドできます${\displaystyle {\dot {V}}_{1}}$ゼロから離れたところ。

3. 制御${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$システムは、

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$

   安定化されているため、$\displaystyle z_2}}$望ましいものに従う$u_1$制御。制御設計は拡張リアプノフ関数候補に基づいている。

   ${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}}$

   コントロール$u2$選択してバインドできます${\displaystyle {\dot {V}}_{2}}$ゼロから離れたところ。

4. このプロセスは実際に${\displaystyle u}$知られていること、そして
   • 真の支配${\displaystyle u}$安定させる${\displaystyle z_{k}}$架空の支配へ$u_k-1$。
   • 架空の支配$u_k-1$安定させる${\displaystyle z_{k-1}}$架空の支配へ$u_k-2$。
   • 架空の支配$u_k-2$安定させる${\displaystyle z_{k-2}}$架空の支配へ$u_k-3$。
   • ...
   • 架空の支配$u2$安定させる$\displaystyle z_2}}$架空の支配へ$u_1$。
   • 架空の支配$u_1$安定させる$\displaystyle z_{1}}$架空の支配へ$u_x$。
   • 架空の支配$u_x$安定させる${\displaystyle \mathbf {x} }$起源へ。

このプロセスは、安定性を確保するための内部サブシステムの要件から始まり、各ステップで安定性を維持しながら、システムから徐々に後退していくため、バックステッピングと呼ばれます。

• ${\displaystyle f_{i}}$原点で消滅する${\displaystyle 0\leq i\leq k}$、
• ${\displaystyle g_{i}}$非ゼロである${\displaystyle 1\leq i\leq k}$、
• 与えられた制御$u_x$もっている${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$、

すると、結果として得られるシステムは原点（つまり、${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$、${\displaystyle z_{1}=0}$、${\displaystyle z_{2}=0}$、...、${\displaystyle z_{k-1}=0}$、 そして${\displaystyle z_{k}=0}$) はグローバルに漸近安定である。

• 非線形制御
• 後退