均一化（集合論）

数学の一分野である集合論において、一様化公理は選択公理の弱い形式である。これは、が の部分集合であり、と がポーランド空間である場合、 から への部分関数である の部分集合が存在し、その定義域（が存在するようなすべての集合）が に等しいこと を述べている。${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}\,}$

このような関数はの均一化関数、またはの均一化と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

選択公理との関係を見るには、は の各要素に のサブセットを関連付けるものとして考えることができることに注目してください。 の均一化は、サブセット が空でない場合は常に、各サブセットから正確に 1 つの要素を選択します。したがって、任意のセットXとY (ポーランド空間だけでなく)を許可すると、均一化公理は選択公理と同等になります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R}$

におけるすべての関係が における部分関数によって均一化できる場合、点クラスは 均一化特性を持つと言われます。均一化特性は、少なくとも特定の形式の適切な点クラスについては、スケール特性によって暗示されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$

ZFCのみから、およびが均一化特性を持つことが分かる。十分に大きな基数が存在することから、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{2}^{1}}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi}}_{2n+1}^{1}}$そして、あらゆる自然数に対して均一化特性を持ちます。${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma}}_{2n+2}^{1}}$ ${\displaystyle n}$
• したがって、射影集合の集合は均一化の性質を持ちます。
• L(R)のすべての関係は均一化できますが、必ずしもL(R) の関数によって均一化できるわけではありません。実際、L(R) には均一化プロパティがありません (つまり、L(R) は均一化公理を満たしません)。
  • (注: V が選択公理を満たすと仮定すると、 L(R) のすべての関係がV で均一化できることは自明です。重要なのは、そのような関係はすべて、決定性公理が成り立つ V の推移的な内部モデルで均一化できるということです。)

• モスコヴァキス、ヤニス・N. (1980)。記述的集合論。ノースホランド。ISBN 0-444-70199-0。