外延性の公理

外延性公理[ ^{1] [2]}は、範囲公理^{[3] [4]}とも呼ばれ、ツェルメロ-フランケル集合論^[5 ]など、公理的集合論の多くの形式で使用される公理です。^{[6]この公理は、}集合とは何かを定義します。^[1]非公式には、この公理は、2つの集合AとBが等しいのは、 AとBが同じメンバーを持つ 場合のみであるということを意味しています。

ツェルメロ・フランケル公理​​の 形式言語では、公理は次のようになります。

${\displaystyle \forall x\forall y\,[\forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)\rightarrow x=y]}$^{[7] [8] [9]}

または言葉で言うと:

集合とが同じ要素を持つ場合、それらは同じ集合である。^{[7] [1]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

純粋集合論では、集合のすべてのメンバーはそれ自体が集合であるが、初等元 を含む集合論ではそうではない。この公理の有用性は、 （ただし、 は集合であり、では自由に現れるが では現れない式）を受け入れると、式 を満たすオブジェクト（場合によっては初等元または集合）をメンバーとする一意の集合が存在することを公理が保証するという事実からわかる。${\displaystyle \exists A\,\forall x\,(x\in A\iff \Phi (x))}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (x)}$

公理の逆は、等式の置換特性から導かれます。それにもかかわらず、公理は双条件式、つまりとして直接与えられることもあります。^[1]${\displaystyle \forall x\forall y\,[x=y\rightarrow \forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)]}$${\displaystyle \forall x\forall y\,[\forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)\leftrightarrow x=y]}$

クワインのニューファンデーション（NF）集合論は、クワインのオリジナルの発表では、等号または同一性の記号を「集合が等号の左側を要素として含む場合、等号の右側も要素として含む」（1937年の定義）、または「オブジェクトが等号の左側の集合の要素である場合、かつその場合に限り、それは等号の右側の集合の要素でもある」（1951年の定義）のいずれかの省略形として扱っています。つまり、 は、1937年のオリジナルの論文のように の省略形として、またはクワインの数学的論理（1951年）のようにの省略形として扱われます。定義の2番目のバージョンは、ZF外延性公理の前件とまったく同じであり、定義の最初のバージョンも依然としてそれに非常に似ています。しかし対照的に、ZF 集合論では、同一性または等価性の記号を形式言語の基本記号として扱い、それに基づいて外延性の公理を定義します。(この段落では、両方のバージョンの定義の記述は言い換えであり、引用符は記述を区別するためにのみ使用されました。) ${\displaystyle =}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \forall z\,\left.(x\in z\right.\rightarrow \left.y\in z\right.)}$${\displaystyle \forall z\,\left.(z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)}$${\displaystyle =}$

NF の原著であるクワインのNew Foundations for Mathematical Logic (1937) では、公準 P1, に「外延性の原理」という名前が付けられている[ 10 ^] 。これは、読みやすさのために と言い換えることもできる。同一性または等価性の記号を定義する定義 D8 では、の省略形として を定義している。^{[10]クワインは、}準引用 をすでに開発していた彼のMathematical Logic (1951)で、の省略形として(定義 D10)を定義しており、「外延性の」公理や原理をまったく定義していない。^[11]${\displaystyle ((x\subset y)\supset ((y\subset x)\supset (x=y)))}$${\displaystyle x\subset y\rightarrow (y\subset x\rightarrow x=y)}$${\displaystyle =}$${\displaystyle (\alpha =\beta )}$${\displaystyle (\gamma )\,(\left.(\alpha \in \gamma \right.)\supset (\left.\beta \in \gamma \right.))}$${\displaystyle \ulcorner \zeta =\eta \urcorner }$${\displaystyle \ulcorner (\alpha )\,(\left.\alpha \in \zeta \right.\;.\equiv \,.\,\left.\alpha \in \eta \right.)\urcorner }$

しかしトーマス・フォースターはこれらの細かい違いを無視し、NFがZF形式の外延性公理を受け入れると考えている。^[12]

スコット・ポッター（ZU）集合論では、「外延性原理」は公理ではなく定理として与えられており、「集合」の定義から証明される。^[13]${\displaystyle (\forall x)(\left.x\in a\right.\Leftrightarrow \left.x\in b\right.)\Rightarrow a=b}$

原始元は、それ自体が集合ではない集合の要素です。ツェルメロ-フランケル公理​​には原始元はありませんが、集合論のいくつかの代替公理化には原始元が含まれています。原始元は集合とは異なる論理型として扱うことができます。この場合、が原始元である場合は意味がないため、外延性の公理は単に集合にのみ適用されます。 ${\displaystyle B\in A}$${\displaystyle A}$

あるいは、型なし論理では、が原始要素である 場合は常に が偽であることを要求できます。この場合、通常の外延性公理は、すべての原始要素が空集合に等しいことを意味します。この結果を回避するには、外延性公理を空でない集合にのみ適用するように変更します。 ${\displaystyle B\in A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).}$

つまり、

任意の集合Aと任意の集合Bが与えられた場合、Aが空でない集合（つまり、 AのメンバーXが存在する場合）であり、AとBのメンバーがまったく同じであれば、それらは等しい。

型なしロジックのもう 1 つの代替案は、が ur 要素である ときは常に、の唯一の要素として定義することです。 このアプローチは外延性の公理を維持するのに役立ちますが、代わりに規則性の公理を調整する必要があります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• 拡張性
• 集合論
• 集合論の用語集