アマン・ベーンカータイル

幾何学において、アマン・ベーンカー・タイリングは、1970年代にロバート・アマンが行った非周期的なプロトタイプセット、またはFPM・ベーンカーが独自に実行したカットアンドプロジェクト法によって生成できる非周期的なタイリングです。これらは、アマンが発見し、 「タイリングとパターン」で説明されている5つのタイリングセットの1つです。^[1]

アマン・ベーンカー・タイリングは、より有名なペンローズ・タイリングと類似した多くの特性を持っています。

• これらは非周期的であり、つまり並進対称性が欠如していることを意味します。
• それらの非周期性は、階層構造によって暗示されています。つまり、タイルは、パッチがどんどん大きくなるための置換ルールから生じる置換タイルです。この置換構造は、次のことも意味します。
• タイリング内の有限領域 (パッチ) は、そのタイリング内で無限に出現し、実際、他のタイリングでも出現します。したがって、有限のパッチだけを見ると、無限のタイリングはすべて互いに同じように見えます。
• これらは準結晶です。物理構造として実装されたアマン・ベーンカー タイリングはブラッグ回折を生じます。回折図は、基礎となる 8 倍対称性と長距離秩序の両方を明らかにします。この秩序は、タイリングが並進対称性ではなく、「デフレーション」または「インフレーション」と呼ばれるプロセスを通じて構成されているという事実を反映しています。
• この無限のグローバル構造はすべて、これまでに発見されたタイルの最も単純な非周期的な集合であるアマンのA5集合の1つである一対のタイルのローカルマッチングルールを通じて強制されます。^[1]

タイリングを記述するための様々な方法が提案されている：マッチングルール、置換、カットアンドプロジェクトスキーム^{[2] 、カバーリング[3]}。^[4] 1987年に王、陳、郭は八角形対称性を持つ準結晶の発見を発表した。^[5]

アンマンのペア A5 の A タイルおよび B タイルは、45-135 度の菱形と 45-45-90 度の三角形で、各領域で特定の配置のみを許可するマッチング ルールで装飾されており、無限の数の個々のアンマン-ベーンカー タイリングのそれぞれに非周期的、階層的、および準周期的な構造を強制しています。

^{同じくアマンが発見し、グリュンバウムとシェパード[1]}で「アマン4」と名付けられた別のタイルのセットは、2つの非凸直角のエッジのピースで構成されています。1つは、小さな正方形の上に2つの正方形が重なり合ったもので、もう1つは、小さな正方形に取り付けられた大きな正方形で構成されています。下の図は、ピースとタイルの一部を示しています。

これは代替タイルセットの置換ルールです。

2 つのタイルセット間の関係。

通常のタイルセットのエッジ矢印に加えて、両方のタイルセットのマッチングルールは、頂点に大きな矢印の断片を描き、それらをつなぎ合わせて完全な矢印にすることで表現できます。

Katz ^{[6] は、}頂点制約を削除し、エッジ矢印が一致するという要件のみを課すことによって許可される追加のタイリングを研究しました。この要件自体は置換ルールによって保持されるため、新しいタイリングには、置換ルールを連続的に適用することで得られる「拡大された」コピーの無限シーケンスが含まれます。シーケンス内の各タイリングは、連続的に拡大する真の Ammann-Beenker タイリングと区別がつきません。これらのタイリングの一部は周期的であるため、タイルの任意の有限パッチを見ても、非周期性を強制するタイルの装飾は決定できません。したがって、非周期性を強制する頂点矢印の方向は、無限のタイリング全体からのみ推測できます。

このタイリングには極限特性もある。菱形が交互に並ぶタイリング（つまり、2つの菱形が隣接しているか正方形の列で隔てられている場合は常に、それらは異なる方向に表示される）の中で、正方形の割合はアマン・ベーンカー・タイリングで最小になることがわかる。^[7]

アマン・ベーンカーのタイリングは白銀比（）およびペル数と密接に関係しています。 ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

• 置換方式では、比率をスケーリング係数として導入します。その行列はペル置換行列であり、置換によって生成される一連の単語には、 と の数が連続するペル数に等しいという特性があります。${\displaystyle R\to RrR;r\to R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$
• 置換行列の固有値はおよびです。${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}$
• 代替タイルセットでは、長辺は短辺よりも何倍も長くなります。${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
• 菱形の短対角線と長対角線によって形成されるコンウェイワームの1セットは、rを短対角線、Rを長対角線とする上記のストリングを形成します。したがって、アマンバーもペル順序グリッドを形成します。^[8]

通常のタイルセットの Ammann バー。太い外側の線の長さを とすると、バーはエッジを長さとのセグメントに分割します。これらのタイルはAmmann A5 タイルと呼ばれます。 ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$

代替タイルセットの Ammann バー。非対称タイルのバーは、部分的に外側に伸びていることに注意してください。これらのタイルはAmmann A4 タイルと呼ばれます。

テッセラクトハニカムは8 回の回転対称性を持ち、これはテッセラクトの 8 回の回転対称性に対応しています。この対称性を表す回転行列は次のようになります。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\end{bmatrix}}.}$

この行列を次の新しい座標に変換すると、

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-1/2&0&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&0\\-1/2&0&-1/2&-{\sqrt {2}}/2\\-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\end{bmatrix}}}$生成されます:

${\displaystyle BAB^{-1}={\begin{bmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}.}$

この 3 番目の行列は、45° (最初の 2 つの次元) と 135° (最後の 2 つの次元) の両方の回転に対応します。次に、新しい座標の最初の 2 つまたは最後の 2 つに沿ってハイパーキューブのスラブを投影することで、Ammann-Beenker タイルを得ることができます。

あるいは、45 度の角度で重ねられた 2 つの等尺正方格子の交点の周りに菱形と正方形を描くことによって、アマン - ベーンカー タイリングを実現できます。これら 2 つの手法は、ベーンカーが論文で開発しました。

テッセラティックハニカムへの関連する高次元埋め込みはクロッツ構造であり、その応用についてはBaa​​keとJosephの論文で詳しく説明されています。^[9]八角形の受容領域はさらに部分に分割することができ、各部分は正確に1つの頂点構成を生み出します。さらに、これらの領域の相対的な面積は、無限のタイリング内の対応する頂点構成の頻度に相当します。

• タイル百科事典のエントリ。
• John Savard の Web サイトにある Ammann–Beenker タイル。