トラッキングエラー

金融において、トラッキング エラーまたはアクティブ リスクは、ポートフォリオ マネージャーによるアクティブな管理決定に起因する投資ポートフォリオのリスクの尺度です。これは、ポートフォリオがベンチマークされているインデックスにどれだけ厳密に従っているかを示します。最適な尺度は、ポートフォリオとインデックスのリターンの差の 標準偏差です。

多くのポートフォリオは、通常はインデックスであるベンチマークに合わせて管理されています。一部のポートフォリオ、特にインデックス ファンドは、取引やその他のコストを差し引く前に、インデックスのリターンを正確に再現することが期待されていますが、その他のポートフォリオは、アクティブ リターンを生み出すためにインデックスから逸脱することでポートフォリオを「アクティブに管理」します。トラッキング エラーは、ベンチマークからの偏差を測定します。インデックス ファンドのトラッキング エラーはほぼゼロですが、アクティブに管理されるポートフォリオのトラッキング エラーは通常、より高くなります。したがって、トラッキング エラーには、市場の動きの単なる関数であるリスク (リターン) は含まれません。特定の株式選択や業界および要因の「ベータ」からのリスク(リターン) に加えて、市場のタイミングの決定 からのリスク (リターン) も含まれる場合があります。

ポートフォリオのアクティブリターンをポートフォリオのトラッキングエラーで割ると、リスク調整後のパフォーマンス指標である 情報比率が得られます。

トラッキング エラーが歴史的に測定された場合、それは「実現」または「事後」トラッキング エラーと呼ばれます。モデルがトラッキング エラーを予測するために使用される場合、それは「事前」トラッキング エラーと呼ばれます。事後トラッキング エラーはパフォーマンスの報告に役立ちますが、事前トラッキング エラーは一般にポートフォリオ マネージャーがリスクを管理するために使用されます。事前トラッキング エラー モデルには、ベータを主要な決定要因として使用する単純な株式モデルから、より複雑なマルチファクター債券モデルまで、さまざまなタイプがあります。ポートフォリオのファクター モデルでは、非体系的リスク (つまり、残差の標準偏差) は、投資分野で「トラッキング エラー」と呼ばれます。トラッキング エラーを計算する後者の方法は、以下の式を補完しますが、結果は異なる場合があります (場合によっては 2 倍になります)。

事後トラッキングエラーの式は、アクティブリターンの 標準偏差であり、次のように表されます。

${\displaystyle TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}}$

ここで、はアクティブリターン、すなわちポートフォリオリターンとベンチマークリターンの差^[1]であり、は ベンチマークに対するアクティブポートフォリオウェイトのベクトルである。トラッキングエラーと線形制約の下で、リターンを最大化する最適化問題は、 2次円錐計画法を使用して解くことができる。${\displaystyle r_{p}-r_{b}}$${\displaystyle (w_{p}-w_{b})}$$${\displaystyle \max _{w}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad {\text{st}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d}$$

リターンの正規性の仮定の下では、アクティブ リスクが x パーセントの場合、ポートフォリオのアクティブ リターン (平均からの 1 標準偏差) の約 2/3 が平均超過リターンの +x パーセントから -x パーセントの間に収まることが予想され、ポートフォリオのアクティブ リターン (平均からの 2 標準偏差) の約 95 % が平均超過リターンの +2x パーセントから -2x パーセントの間に収まることが予想されます。

• インデックスファンドではトラッキングエラーが最小限に抑えられると予想されます。
• インバース型上場投資信託は、インデックスやその他のベンチマークの逆のパフォーマンスを発揮するように設計されており、そのため、基礎となるインデックスまたはベンチマークのショートポジションに対するトラッキングエラーを反映します。

インデックス ファンドは、複製しようとしているインデックスに対するトラッキング エラーを最小化することが期待されており、この問題は標準的な最適化手法を使用して解決できます。まず、を次のように定義します。ここで、はベンチマークインデックスに対する各資産のアクティブ ウェイトのベクトルであり、はインデックス内の資産の共分散行列です。インデックス ファンドを作成すると、インデックス内のすべての投資可能資産を保有することになる可能性がありますが、資産のサブセットのみに投資する方がよい場合もあります。これらの考慮事項から、次の混合整数 2 次計画法 (MIQP)問題が導き出されます。ここで、は資産がインデックス ファンドに含まれるかどうかの論理条件であり、次のように定義されます。${\displaystyle \omega^{2}}$$${\displaystyle \omega ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})}$$${\displaystyle w-w_{b}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{w}&\quad \omega ^{2}\\{\text{s.t.}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned}}}$$${\displaystyle y_{j}}$$${\displaystyle y_{j}={\begin{cases}1,\quad &w_{j}>0\\0,\quad &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

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