粒子速度

粒子速度（ vまたはSVLと表記）とは、媒質中を伝播する粒子（実在または仮想）の速度のことである。粒子速度のSI単位はメートル毎秒（m/s）である。多くの場合、これは音波のような縦波であるが、張られた弦の振動のような横波の場合もある。

空気のような流体媒体を通過する音波に適用する場合、粒子速度とは、音波が通過する際に、流体の塊が音波の進行方向に沿って前後に動く際の物理的な速度のことである。

粒子の速度は、波が媒質を通過する速度と混同してはならない。例えば、音波の場合、粒子の速度は音速とは異なる。波は比較的速く移動するが、粒子は比較的小さな粒子速度で元の位置を中心に振動する。また、粒子の速度は、主に温度と分子量に依存する個々の分子の速度とも混同してはならない。

音を扱うアプリケーションでは、粒子の速度は通常、粒子速度レベルと呼ばれる対数デシベルスケールを用いて測定されます。音圧の測定には主に圧力センサー（マイクロホン）が使用され、測定された音圧はグリーン関数を用いて速度場へと伝播されます。

粒子速度は、${\displaystyle \mathbf {v} }$は、によって定義されます。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {\delta } }{\partial t}}}$

どこ${\displaystyle \delta }$は粒子の変位です。

進行正弦波の粒子変位は次のように表される。

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta _{\mathrm {m} }\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}),}$

どこ

• ${\displaystyle \delta _{\mathrm {m} }}$は粒子変位の振幅である。
• ${\displaystyle \varphi _{\delta ,0}}$これは粒子変位の位相シフトである。
• ${\displaystyle \mathbf {k} }$は角波数ベクトルです。
• ${\displaystyle \omega }$は角周波数です。

したがって、音波の伝播方向xに沿った粒子の速度と音圧は次のように与えられる。

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}=\omega \delta \cos \!\left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}+{\frac {\pi }{2}}\right)=v_{\mathrm {m} }\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{v,0}),}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial x}}=\rho c^{2}k_{x}\delta \cos \!\left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}+{\frac {\pi }{2}}\right)=p_{\mathrm {m} }\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{p,0}),}$

どこ

• ${\displaystyle v_{\mathrm {m} }}$は粒子の速度の振幅である。
• ${\displaystyle \varphi _{v,0}}$は粒子速度の位相シフトである。
• ${\displaystyle p_{\mathrm {m} }}$は音圧の振幅です。
• ${\displaystyle \varphi _{p,0}}$これは音圧の位相シフトである。

ラプラス変換をとると${\displaystyle v}$そして${\displaystyle p}$時間に関して

${\displaystyle {\hat {v}}(\mathbf {r} ,\,s)=v_{\mathrm {m} }{\frac {s\cos \varphi _{v,0}-\omega \sin \varphi _{v,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}},}$

${\displaystyle {\hat {p}}(\mathbf {r} ,\,s)=p_{\mathrm {m} }{\frac {s\cos \varphi _{p,0}-\omega \sin \varphi _{p,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}$

以来${\displaystyle \varphi _{v,0}=\varphi _{p,0}}$比音響インピーダンスの振幅は次式で与えられる。

${\displaystyle z_{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\,s)=|z(\mathbf {r} ,\,s)|=\left|{\frac {{\hat {p}}(\mathbf {r} ,\,s)}{{\hat {v}}(\mathbf {r} ,\,s)}}\right|={\frac {p_{\mathrm {m} }}{v_{\mathrm {m} }}}={\frac {\rho c^{2}k_{x}}{\omega }}.}$

したがって、粒子速度の振幅は、粒子変位と音圧の振幅と次の関係にある。

${\displaystyle v_{\mathrm {m} }=\omega \delta _{\mathrm {m} },}$

${\displaystyle v_{\mathrm {m} }={\frac {p_{\mathrm {m} }}{z_{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\,s)}}.}$

音速レベル（SVL）または音響速度レベルまたは粒子速度レベルは、基準値に対する音の実効粒子速度の対数尺度です。 音速レベルはL _vで表され、 dBで測定され、 ^{[ 1 ]}で定義されます。

${\displaystyle L_{v}=\ln \!\left({\frac {v}{v_{0}}}\right)\!~\mathrm {Np} =2\log _{10}\!\left({\frac {v}{v_{0}}}\right)\!~\mathrm {B} =20\log _{10}\!\left({\frac {v}{v_{0}}}\right)\!~\mathrm {dB} ,}$

どこ

• vは粒子の二乗平均速度である。
• v _0は基準粒子速度です。
• 1 Np = 1はネーパーです。
• 1 B = 1 / 2 ln 10はbelです。
• 1 dB = 1 / 20 ln 10はデシベルです。

空気中の一般的な基準粒子速度は^{[ 2 ]です。}

${\displaystyle v_{0}=5\times 10^{-8}~\mathrm {m/s} .}$

この基準を用いた音速レベルの適切な表記はL _{v /(5 × 10 ⁻⁸ m/s)}またはL _v (re 5 × 10 ⁻⁸ m/s)ですが、SI では認められていないにもかかわらず、 dB SVL、dB(SVL)、dBSVL、または dB _SVLという表記が非常に一般的です。^{[ 3 ]}

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