量子時計モデル

量子時計モデルは量子格子モデルである。^[1]これは横磁場イジングモデルの一般化である。これは各サイトに状態を持つ格子上で定義される。このモデルの ハミルトニアンは${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right)}$

ここで、添え字は格子点を指し、合計は最も近い隣接点のペアとに対して行われます。時計行列とは次の式を満たす パウリ行列の一般化です。${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle Z_{j}}$${\displaystyle N\times N}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$そして${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

ここで、と が同じサイトの場合は 1、そうでない場合は 0 です。はエネルギーの次元を持つ前因子であり、 は最近接相互作用と比較した外部場の相対的な強度を決定する別の結合係数です。 ${\displaystyle \delta _{j,k}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$

このモデルは、積が格子のあらゆるサイト上にあるユニタリ演算子によって生成されるグローバル対称性に従います。言い換えると、ハミルトニアンと交換します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$${\displaystyle U_{X}=\prod _{j}X_{j}}$${\displaystyle U_{X}}$

のとき、量子時計モデルは横磁場イジングモデルと同一です。 のとき、量子時計モデルは量子3状態ポッツモデルと同等です。 のとき、モデルは再びイジングモデルと同等です。 のとき、これらのモデルで示される相転移は、物理的性質がまだほとんどわかっていない コステリッツ-サウレス転移の特定の一般化^[2]であるという強力な証拠が見つかっています。${\displaystyle N=2}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle N=4}$${\displaystyle N>4}$

特に 1 次元の量子時計モデルを研究するために使用できるさまざまな分析方法があります。

クロック行列の非局所マッピングはクラマース・ワニエ双対変換として知られ、次のように実行できます。^[3] 次に、元のクロック行列と同じ代数関係に従う、チルダ付きの新しく定義されたクロック行列に関して、ハミルトニアンは単に です。これは、結合パラメータ を持つモデルが結合パラメータ を持つモデルと双対であることを示しており、秩序相と無秩序相の間に双対性を確立します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}^{\dagger }Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}}$$${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j}^{\dagger }+{\textrm {h.c.}})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{-1}}$

1 次元鎖の境界には微妙な考慮事項がいくつかあることに注意してください。その結果、位相の縮退と対称性の特性は、クラマース-ワニエ双対性の下で変化します。より注意深い分析では、理論をゲージ場に結合します。ゲージを固定すると、クラマース-ワニエ変換の結果が再現されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

の場合、 で秩序相から無秩序相への一意の相転移が起こります。このモデルは「自己双対」と言われます。これは、クラマース・ワニエ変換によりハミルトニアンがそれ自身に変換されるためです。 の場合、とに相転移点が 2 つあります。これらの相転移はKosterlitz-Thouless 転移の一般化^[2]の一種であるという強力な証拠が見つかっています。KT 転移は、自由エネルギーが のように変化する本質的特異点を持つことを予測しますが、摂動論的研究では、本質的特異点は のように振舞うことがわかっています。ここでは から に変化し、からに増加します。これらの相転移の物理的描像^[4]はまだ明らかではありません。 ${\displaystyle N=2,3,4}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle N>4}$${\displaystyle g_{1}<1}$${\displaystyle g_{2}=1/g_{1}>1}$${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{\sqrt {|g-g_{c}|}}}}}$${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{|g-g_{c}|^{\sigma }}}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0.2}$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 9}$

ジョーダン・ウィグナー変換として知られる別の非局所マッピングは、パラフェルミオンの観点から理論を表現するために使用できます。