数学において、 ウィーナー級数 、あるいは ウィーナーのG関数展開は、1958年の ノーバート・ウィーナー の著書に由来する。これは非線形 関数 の直交展開であり、 ボルテラ級数 に密接に関連し、直交 エルミート多項式展開が べき級数 に対して持つ 関係と同じ関係を持っている 。このため、 ウィーナー・エルミート展開とも呼ばれる。係数の類似物は ウィーナー核 と呼ばれる。級数の項は、 白色ノイズ の統計的入力に関して直交（無相関）である。この特性により、アプリケーションで リー・シェッツェン法 によって項を識別できる 。
ウィーナー級数は 非線形システム同定 において重要です。この文脈では、級数は任意の時点でのシステム入力の全履歴に対する出力の機能的関係を近似します。ウィーナー級数は主に生物システムの同定に適用されており、特に 神経科学 で使用されています。
ウィーナー級数という名前は、 システム理論 でほぼ独占的に使用されています。数学の文献では、ウィーナー級数は伊藤展開 (1951) として登場し、形式は異なりますが、ウィーナー級数と完全に同等です。
ウィーナー級数は、信号処理で使用されるノーバート・ウィーナーによって開発された別のアルゴリズムであるウィーナー フィルタ と混同しないでください 。
ウィーナーG関数表現 入力が平均値ゼロでパワーAの白色ノイズである入力/出力ペアを持つシステムを考えると 、システムの出力はウィーナーG関数の系列の和として表すことができます。
（ x （ t ） 、 ええ （ t ） ）
{\displaystyle (x(t),y(t))}
ええ （ ん ） =
∑
p
（
グ
p
x ） （ ん ）
{\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}
以下に、5次までのG関数の表現を示します。 [ 説明が必要 ]
{{明らかにする}}
（
グ
0
x ） （ ん ） =
け
0
= え
{
ええ （ ん ）
}
;
{\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}
（
グ
1
x ） （ ん ） =
∑
τ
1
= 0
いいえ
1
− 1
け
1
（
τ
1
） x （ ん −
τ
1
） ;
{\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x( n-\tau _{1});}
（
グ
2
x ） （ ん ） =
∑
τ
1
、
τ
2
= 0
いいえ
2
− 1
け
2
（
τ
1
、
τ
2
） x （ ん −
τ
1
） x （ ん −
τ
2
） − あ
∑
τ
1
= 0
いいえ
2
− 1
け
2
（
τ
1
、
τ
1
） ;
{\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}
（
グ
3
x ） （ ん ） =
∑
τ
1
、 … 、
τ
3
= 0
いいえ
3
− 1
け
3
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
3
） x （ ん −
τ
1
） x （ ん −
τ
2
） x （ ん −
τ
3
） − 3 あ
∑
τ
1
= 0
いいえ
3
− 1
∑
τ
2
= 0
いいえ
3
− 1
け
3
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
2
） x （ ん −
τ
1
） ;
{\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3} (\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2} =0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}
（
グ
4
x ） （ ん ） =
∑
τ
1
、 … 、
τ
4
= 0
いいえ
4
− 1
け
4
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
3
、
τ
4
） x （ ん −
τ
1
） x （ ん −
τ
2
） x （ ん −
τ
3
） x （ ん −
τ
4
） +
− 6 あ
∑
τ
1
、
τ
2
= 0
いいえ
4
− 1
∑
τ
3
= 0
いいえ
4
− 1
け
4
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
3
、
τ
3
） x （ ん −
τ
1
） x （ ん −
τ
2
） + 3
あ
2
∑
τ
1
、
τ
2
= 0
いいえ
4
− 1
け
4
（
τ
1
、
τ
1
、
τ
2
、
τ
2
） ;
{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{ 4}-1}k_{4}(\タウ _{1},\タウ _{2},\タウ _{3},\タウ_{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+ {}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x (n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}); \end{整列}}}
（
グ
5
x ） （ ん ） =
∑
τ
1
、 … 、
τ
5
= 0
いいえ
5
− 1
け
5
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
3
、
τ
4
、
τ
5
） x （ ん −
τ
1
） x （ ん −
τ
2
） x （ ん −
τ
3
） x （ ん −
τ
4
） x （ ん −
τ
5
） +
− 10 あ
∑
τ
1
、 … 、
τ
3
= 0
いいえ
5
− 1
∑
τ
4
= 0
いいえ
5
− 1
け
5
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
3
、
τ
4
、
τ
4
） x （ ん −
τ
1
） x （ ん −
τ
2
） x （ ん −
τ
3
）
+ 15
あ
2
∑
τ
1
= 0
いいえ
5
− 1
∑
τ
2
、
τ
3
= 0
いいえ
5
− 1
け
5
（
τ
1
、
τ
2
、
τ
2
、
τ
3
、
τ
3
） x （ ん −
τ
1
） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{ 5}-1}k_{5}(\タウ _{1},\タウ _{2},\タウ _{3},\タウ _{4},\タウ_{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x (n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{ 4},\タウ _{4})x(n-\タウ _{1})x(n-\タウ _{2})x(n-\タウ_{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2 },\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}、\タウ _{3}、\タウ_{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}
参照
参考文献 ウィーナー、ノルベルト (1958)。 ランダム理論における非線形問題 。ワイリーとMITプレス。 リーとシェッツェン。シェッツェン‡、M. (1965)。 「相互相関による非線形システムのウィーナー カーネルの測定」。 国際制御ジャーナル 。初め。 2 (3): 237–254。 土井 ：10.1080/00207176508905543。 Itô K 「多重ウィナー積分」 J. Math.社会日本3 1951 157–169 Marmarelis, PZ; Naka, K. (1972). 「ニューロン連鎖のホワイトノイズ解析: ウィーナー理論の応用」. Science . 175 (4027): 1276–1278. Bibcode :1972Sci...175.1276M. doi :10.1126/science.175.4027.1276. PMID 5061252. マーティン・シェッツェン (1980)。 非線形システムのヴォルテラ理論とウィナー理論 。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。 ISBN 978-0-471-04455-0 。 Marmarelis, PZ (1991). 「非線形フィードバックのウィーナー解析」. センサシステム生物医学工学年報 . 19 (4): 345–382. doi :10.1007/BF02584316. PMID 1741522. Franz, M; Schölkopf, B. (2006). 「ウィーナー理論とボルテラ理論および多項式カーネル回帰の統一的見解」. ニューラルコンピューティング . 18 (12): 3097–3118. doi :10.1162/neco.2006.18.12.3097. PMID 17052160. LA Zadeh「非線形演算子の表現について」IRE Westcon Conv. Record pt.2 1957 105-113。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{ 4}-1}k_{4}(\タウ _{1},\タウ _{2},\タウ _{3},\タウ_{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+ {}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x (n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}); \end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9203f29478e73c5ab5163580b3bd3aab3f2469bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{ 5}-1}k_{5}(\タウ _{1},\タウ _{2},\タウ _{3},\タウ _{4},\タウ_{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x (n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{ 4},\タウ _{4})x(n-\タウ _{1})x(n-\タウ _{2})x(n-\タウ_{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2 },\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}、\タウ _{3}、\タウ_{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3433f80b66008362b9a97a6c615e43ec111abc63)