ウィックの定理

ウィックの定理は、高階微分を組み合わせ論の問題に還元する方法です。^{[ 1 ]}これはイタリアの物理学者ジャン・カルロ・ウィックにちなんで名付けられました。^{[ 2 ]}これは量子場理論で広く使用されており、生成消滅演算子の任意の積をこれらの演算子のペアの積の和に還元します。これにより、グリーン関数法の使用が可能になり、結果として研究対象分野でファインマン図の使用が可能になります。確率論におけるより一般的なアイデアは、イッサーリスの定理です。

摂動量子場理論では、ウィックの定理を用いて、ダイソン級数の各時間順序付き項を、通常の順序付き項の和として素早く書き換えることができる。漸近的に自由な入射状態と出射状態の極限では、これらの項はファインマン図に対応する。

収縮の定義

2人のオペレーターの場合 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ 我々はそれらの収縮を次のように定義する。

\displaystyle {\hat {A}}^{\bullet }\,{\hat {B}}^{\bullet }\equiv {\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}}}

どこ ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ 演算子の通常の順序を表す ${\hat {O}}$ あるいは、縮約形は線で結ぶことで表すこともできます。 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ 、のように ${\overset {\sqcap }{{\hat {A}}{\hat {B}}}$ 。

ここでは、次のような4つの特別なケースを詳しく見ていきます。 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ 生成演算子と消滅演算子に等しい。 $N$ ボソンモードまたはフェルミオンモードの生成演算子を次のように表します。 $\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ そして消滅演算子は $\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ $(i=1,2,3,\ldots ,N)$ これらはボソン演算子の交換関係を満たす。 $[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}$ または、フェルミオン演算子の反交換関係 $\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}$ どこ $\displaystyle \delta _{ij}}$ はクロネッカーデルタを表し、 ${\hat {\mathbf {1} }}$ は恒等演算子を表す。

次に

\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}

\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=0}

{\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0

{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}

どこ $i,j=1,\ldots ,N$ 。

これらの関係は、正規順序の定義方法により、ボソン演算子またはフェルミオン演算子のいずれにも当てはまります。

例

縮約と正規順序付けを用いることで、生成演算子と消滅演算子の任意の積を、正規順序付けされた項の和として表現できます。これがウィックの定理の基礎です。定理を完全に述べる前に、いくつかの例を見てみましょう。

仮定する ${\hat {a}}_{i}$ そして ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ ボソン演算子は交換関係を満たすか？

\left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0

\left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right]=0

\left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}

どこ $i,j=1,\ldots ,N$ 、 $\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ は交換子を表し、 $\delta _{ij}$ これはクロネッカーデルタです。

これらの関係と上記の縮約の定義を使用して、 ${\hat {a}}_{i}$ そして ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ 他の方法で。

例１

{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }

変更はしていないことにご注意ください ${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }$ しかし、それを別の形で言い換えただけである $\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }$

例２

{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}){\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }{\hat {a}}_{k}=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}\,{\mathclose {:}}+{\mathclose {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}{\mathclose {:}}

例３

{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij})({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl})

={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}

={\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{il}){\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}

={\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{k}+\delta _{il}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}

=\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet \bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet \bullet }{\mathclose {:}}

最後の行では、異なる数の $^{\bullet }$ 異なる縮約を表す記号。交換関係を繰り返し適用すると、表現するには多くの作業が必要になります。 ${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }$ これは、通常の順序で並べられた積の合計という形で表されます。より複雑な積の場合は、計算がさらに長くなります。

幸いなことに、ウィックの定理が近道を提供してくれる。

定理の記述

生成演算子と消滅演算子の産物 ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ 次のように表現できます

{\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet \bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet }{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\ldots \end{aligned}},

どこ $^{\bullet }$ そして $^{\bullet \bullet }$ 異なる縮約ペアを示す： ${\hat {A}}$ 契約を結んでいる ${\hat {D}}$ 、 ${\hat {B}}$ 契約を結んでいる ${\hat {C}}$ 。

言い換えれば、生成演算子と消滅演算子の列は、その列の正規順序積に、演算子ペア間のすべての単一縮約後の正規順序積、すべての二重縮約、その他すべての完全縮約を加えたものとして書き直すことができる。

上記の例にこの定理を適用すると、最終的な式にたどり着くためのより迅速な方法が得られる。

注意：右辺に複数の縮約を含む項がある場合、演算子がフェルミオン演算子であるときは注意が必要です。この場合、次の規則に従って適切なマイナス符号を導入する必要があります。縮約された項が文字列内で隣接していることを確認するために、演算子を並べ替えます（2つのフェルミオン演算子の順序が入れ替わるたびにマイナス符号を導入します）。その後、縮約を適用できます（Wickの論文の「規則C」を参照）。

例：

フェルミオンが 2 つある場合 ( $N=2$ 生成演算子と消滅演算子を備えた ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ そして ${\hat {f}}_{i}$ （ $i=1,2$ ）それから

{\begin{aligned}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,={}&\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}-{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,+{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{aligned}}

2つの生成演算子と2つの消滅演算子の縮約を含む項は、それらの縮約が消滅するため含まれていないことに注意してください。

証拠

帰納法は、ボソン生成消滅演算子の定理を証明するために用いられる。 $N=2$ 基本ケースは自明である。なぜなら、考えられる縮約形は1つしかないからだ。

{\hat {A}}{\hat {B}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+({\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}})={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }

一般に、非ゼロの縮約は、左側の消滅演算子と右側の生成演算子の間のみである。ウィックの定理が成り立つと仮定する。 $N-1$ オペレーター ${\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ そして、 N番目の演算子を追加した場合の影響を検討します。 ${\hat {A}}$ の左側 ${\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ 形成する ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ ウィックの定理を適用すると、 $N-1$ オペレーターとして、私たちは以下のものを持っています。

{\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet }{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet \bullet }{\hat {E}}^{\bullet }{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\ldots \end{aligned}}

${\hat {A}}$ は生成演算子または消滅演算子のいずれかです。 ${\hat {A}}$ は作成演算子であり、上記のすべての製品、例えば ${\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}$ は既に正規の順序付けがなされており、それ以上の操作は必要ありません。 ${\hat {A}}$ すべての消滅演算子の左側にあります ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ 、それを含む縮約はすべてゼロになります。したがって、それを含むすべての縮約を加算することができます。 ${\hat {A}}$ 合計値を変更せずに合計値に加算します。したがって、 ${\hat {A}}$ は生成演算子であり、ウィックの定理は以下に対して成り立つ。 ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ 。

さて、 ${\hat {A}}$ は消滅演算子です。 ${\hat {A}}$ すべての製品の左側から右側へ、繰り返し交換します。 ${\hat {A}}$ そのすぐ右にオペレーターを配置して（ ${\hat {X}}$ ）、適用するたびに ${\hat {A}}{\hat {X}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {X}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {X}}^{\bullet }$ 非可換性を考慮するため。これを実行すると、すべての項が通常の順序になります。すべての項は、プッシュすることによって合計に追加されます。 ${\hat {A}}$ 製品を通じて、追加の収縮に対応します ${\hat {A}}$ したがって、 ${\hat {A}}$ は消滅演算子であり、ウィックの定理はに対して成り立つ。 ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ 。

基本ケースと帰納ステップを証明したので、定理は真である。適切なマイナス符号を導入することで、証明をフェルミオン生成消滅演算子に拡張できる。場に適用した定理も基本的に同じ方法で証明される。^{[ 3 ]}

ウィックの定理を体に適用する

量子場理論に現れる相関関数は、場演算子の縮約によって表現できる。

{\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\langle 0\mid {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}\mid 0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},

オペレーターが ${\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}$ 真空状態を消滅させない成分は $|0\rangle$ つまり、 ${\overline {AB}}={\mathcal {T}}AB-{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}AB{\mathclose {:}}$ これはつまり ${\overline {AB}}$ は、 ${\mathcal {T}}AB$ 2 つのフィールド演算子の時間順序付き文字列の縮約はC 数であることに注意してください。

最終的に、ウィックの定理にたどり着く。

時間順に並べられた自由フィールド文字列のT積は、次のように表すことができます。

{\mathcal {T}}\prod _{k=1}^{m}\phi (x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\sum _{\alpha ,\beta }{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+{}

{\mathcal {}}+\sum _{(\alpha ,\beta ),(\gamma ,\delta )}{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}\;{\overline {\phi (x_{\gamma })\phi (x_{\delta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\cdots .

この定理をS行列の要素に適用すると、真空状態に作用する正規順序項は和にゼロの寄与を与えることがわかります。したがって、 mは偶数であり、完全に縮約された項のみが残ると結論付けられます。

F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairs} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})

G_{p}^{(n)}=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}{\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {:}}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})\mid 0\right\rangle

ここで、pは相互作用場の数（または同等に、相互作用する粒子の数）であり、n は発展次数（または相互作用の頂点の数）である。例えば、 $v=gy^{4}\Rightarrow {\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {:}}$

これは、統計学におけるガウス分布のモーメントに関するイッサーリスの定理に類似している。

この議論は、場の真空期待値(VEV)に適した通常の正規順序の定義に基づいていることに注意してください。 (ウィックの定理は、 n個の場の VEV を 2 つの場の VEV で表す方法を提供します。^{[ 4 ]} ) 正規順序には他の定義も考えられますが、ウィックの定理はどの定義でも有効です。ただし、ウィックの定理は、使用する正規順序の定義を、求める期待値の種類に合わせて変更した場合にのみ計算を簡略化します。つまり、正規順序付けされた積の期待値は常にゼロである必要があります。たとえば、熱場理論では、密度行列上の熱トレースという異なる種類の期待値には、正規順序の異なる定義が必要です。^{[ 5 ]}

参考文献

↑ Tony Philips (2001年11月) 「有限次元ファインマン図」 . What's New In Math .アメリカ数学会. 2007年10月23日取得。
↑ Wick, GC (1950). "衝突行列の評価". Phys. Rev. 80 ( 2): 268–272 . Bibcode : 1950PhRv...80..268W . doi : 10.1103/PhysRev.80.268 .
↑コールマン、シドニー (2019).量子場理論：シドニー・コールマンの講義. ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング. p. 158.
↑例えば、Mrinal Dasgupta著「量子場理論入門」、オックスフォード大学サマービル・カレッジRAL高エネルギー物理学スクールでの講義、2008年9月、第5.1節「ウィックの定理」（2012年12月3日ダウンロード）も参照のこと。
↑ Evans, TS; Steer, DA (1996). "Wick's theorem at finite temperature". Nucl. Phys. B . 474 (2): 481– 496. arXiv : hep-ph/9601268 . Bibcode : 1996NuPhB.474..481E . doi : 10.1016/0550-3213(96)00286-6 . S2CID 119436816 .

さらに読む

Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995).量子場理論入門. Perseus Books.（§4.3）
シュウェーバー、シルヴァン・S. (1962).相対論的量子場理論入門. ニューヨーク: ハーパー・アンド・ロウ.（第13章、c節）

[1] Tony Philips (2001年11月) 「有限次元ファインマン図」 . What's New In Math .アメリカ数学会. 2007年10月23日取得。

[2] Wick, GC (1950). "衝突行列の評価". Phys. Rev. 80 ( 2): 268–272 . Bibcode : 1950PhRv...80..268W . doi : 10.1103/PhysRev.80.268 .

[3] コールマン、シドニー (2019).量子場理論：シドニー・コールマンの講義. ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング. p. 158.

[4] 例えば、Mrinal Dasgupta著「量子場理論入門」、オックスフォード大学サマービル・カレッジRAL高エネルギー物理学スクールでの講義、2008年9月、第5.1節「ウィックの定理」（2012年12月3日ダウンロード）も参照のこと。

[5] Evans, TS; Steer, DA (1996). "Wick's theorem at finite temperature". Nucl. Phys. B . 474 (2): 481– 496. arXiv : hep-ph/9601268 . Bibcode : 1996NuPhB.474..481E . doi : 10.1016/0550-3213(96)00286-6 . S2CID 119436816 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

ウィックの定理

収縮の定義

例

例１

例２

例３

定理の記述

証拠

ウィックの定理を体に適用する

関連項目

参考文献

さらに読む

関連するトピック

高階

微分を

組み合わせ論の

ジャン・カルロ・ウィック