ホワイトヘッドの補題

ホワイトヘッドの補題は、代数K理論で使用される抽象代数の技術的な結果です。これは、次の形式の 行列が

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}}$

は、基本的な変換（つまり、トランスベクション） によって単位行列と同等になります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}=e_{21}(u^{-1})e_{12}(1-u)e_{21} (-1)e_{12}(1-u^{-1}).}$

ここで、は対角ブロックが であり、番目の要素が である行列を示します。 ${\displaystyle e_{ij}(s)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle s}$

「ホワイトヘッドの補題」という名前は、安定な一般線型群の導来群が基本行列によって生成される群であるという密接に関連した結果にも言及している。^{[1] [2]}記号では、

${\displaystyle \operatorname {E} (A)=[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$。

これは、任意の環上の安定群（有限サイズの行列の直接極限）では成り立つが、体上の不安定群では一般には成立しない。例えば、

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

1つは:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )]<\演算子名 {E} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\演算子名 {SL} _{2}(\mathbb { Z} /2\mathbb {Z} )=\演算子名 {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \演算子名 {Sym} (3),}$

ここで、Alt(3)とSym(3)はそれぞれ3文字の 交代対称群を表す。

• 特殊線型群#GL( n , A )の他の部分群との関係