数学 において、ワイルの相互法則は、 代数的に閉じた体 K 上の代数曲線 Cの 関数体 K ( C )において、アンドレ・ワイルが 成り立たせた法則である。K ( C ) の関数 f とg 、すなわち C 上の有理関数が与えられたとき、
f (( g )) = g (( f ))ここで、表記は次の意味を持ちます。( h ) は関数hの 約数 、言い換えれば、重複度 を考慮して数えた零点と極の形式的和です。形式的和に適用される関数は、約数の点における関数の値の積 (重複度を考慮し、極は負の重複度として数える) を意味します。この定義では、 f とg の約数が互いに素な台を持つという条件(これは削除可能) が付帯する必要があります。
射影直線 の場合、これは多項式の終結式 を用いた操作によって証明できる。
互いに素なサポートの条件を取り除くために、C 上の各点P に対してローカルシンボル
( f , g ) P は、与えられた記述が、すべてのP における局所記号の積が 1 であると言うことと同等であるように定義されます。f と g の両方が P で 0 または ∞ の値を取る場合、 定義 は本質 的に極限または除去可能な特異 点の項で、(符号を除いて) を考慮することによって行われます。
f a g b 関数が点Pにおいて零点も極も持たないような a とb を用いる。これは、点P におけるg の重複度をa とし、点P におけるf の重複度を−b とする ことで実現される。定義は次のようになる。
( f , g ) P − 1) ab f a g b 代数曲線を可換群に写像する理論の特殊なケースとして、例えばジャン＝ピエール・セール著 『代数群とクラスの集合 』44～46ページを参照されたい。
セルジュ・ラングによる アーベル多様体 への一般化がある（ラング、『アーベル多様体 』）。
参考文献 アンドレ・ヴェイユ、科学研究 I 、p. 291 ( Artin への 1942 年の手紙 で、1940 年のComptes Rendus ノートSur les fonctions algébriques à corps de constantes finis について説明) グリフィス、フィリップ ；ハリス、ジョセフ （1994）。代数幾何学の原理 。ワイリー・クラシックス・ライブラリー。ニューヨーク州ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。242 ～ 243頁。ISBN 0-471-05059-8 . Zbl 0836.14001 . リーマン面の 場合の証明Arbarello, E. ; De Concini, C. ; Kac, VG (1989). 「代数曲線の無限ウェッジ表現と相互法則」。Ehrenpreis , Leon ; Gunning, Robert C. (編) 『Theta functions, Bowdoin 1987』（第35回夏季研究会、ボウドイン大学、メイン州ブランズウィック、1987年7月6日～24日） 』 純粋数学シンポジウム論文集、第49巻、ロードアイランド州プロビデンス： アメリカ数学会 、pp. 171–190。ISBN 0-8218-1483-4 . Zbl 0699.22028 . Serre, Jean-Pierre (1988).代数群と類体 . 大学院数学テキスト 第 117巻（フランス語第2 版の翻訳）. ニューヨークほか：Springer-Verlag . ISBN 3-540-96648-X . Zbl 0703.14001 .
