ランダム効果モデル

計量経済学において、ランダム効果モデル（分散成分モデルとも呼ばれる）は、モデル効果が確率変数である統計モデルです。これは階層線形モデルの一種であり、分析対象のデータは、階層構造に関連する差異を持つ複数の異なる母集団の階層から抽出されたものと仮定します。ランダム効果モデルは、混合モデルの特殊なケースです。

これとは対照的に、生物統計学の定義では、^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}生物統計学者は「固定効果」と「ランダム効果」をそれぞれ集団平均効果と被験者固有の効果（後者は一般的に未知であると想定され、潜在変数）を指すために使用します。

定性的な記述

ランダム効果モデルは、異質性が時間を通じて一定であり、独立変数と相関がない場合に、観測されない異質性を制御するのに役立ちます。 ^{[ 6 ]}個人固有の効果については、ランダム効果の仮定と固定効果の仮定という 2 つの一般的な仮定があります。ランダム効果の仮定は、個々の観測されない異質性が独立変数と相関がないというものです。固定効果の仮定は、個人固有の効果が独立変数と相関する可能性があるというものです。^{[ 6 ]}

ランダム効果の仮定が成り立つ場合、ランダム効果推定量は固定効果モデルよりも効率的である。

簡単な例

仮定する $m$ 広大な国にある数千校の中から、大規模な小学校が無作為に選ばれる。また、 $n$ 各学校で同年齢の生徒が無作為に選ばれる。標準適性検査の点数が測定される。 $Y_{ij}$ スコアは $j$ の生徒 $i$ 第〇学校。

この変数をモデル化する簡単な方法は次のとおりです。

Y_{ij}=\mu +U_{i}+W_{ij},\,

どこ $\mu$ これは、全人口の平均テストスコアです。

このモデルでは $U_{i}$ これは学校固有のランダム効果です。これは学校の平均スコアの差を測定します。 $i$ そして全国平均スコア。 $W_{ij}$ は個体固有のランダム効果、つまり、 $j$ 平均点から数えて〇番目の生徒の得点 $i$ 第〇学校。

このモデルは、異なるグループ間のスコアの差を捉える追加の説明変数を含めることで拡張できます。例えば、次のようになります。

Y_{ij}=\mu +\beta _{1}\mathrm {性別} _{ij}+\beta _{2}\mathrm {親の教育} _{ij}+U_{i}+W_{ij},\,

どこ $\mathrm {性別} _{ij}$ はバイナリダミー変数であり、 $\mathrm {ParentsEduc} _{ij}$ 例えば、子供の両親の平均教育レベルを記録します。これは、性別と両親の教育に関する固定効果項を導入しているため、純粋なランダム効果モデルではなく、混合モデルです。

分散成分

分散 $Y_{ij}$ は分散の合計です $\displaystyle \tau ^{2}}$ そして $\displaystyle \sigma ^{2}}$ の $U_{i}$ そして $W_{ij}$ それぞれ。

させて

\displaystyle {\overline {Y}}_{i\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}

平均であり、すべてのスコアの平均ではない。 $i$ 第〇学校だが、 $i$ 無作為抽出サンプルに含まれる番目の学校。

\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet \bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}

全体の平均値となる。

させて

SSW=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{ij}-{\overline {Y}}_{i\bullet })^{2}\,

SSB=n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet \bullet })^{2}\,

それぞれグループ内の差による平方和とグループ間の差による平方和とすると、次のことが示せる。

{\frac {1}{m(n-1)}}E(SSW)=\sigma ^{2}

そして

{\frac {1}{(m-1)n}}E(SSB)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}.

これらの「期待平均平方」は、「分散成分」の推定の基礎として使用できます。 $\displaystyle \sigma ^{2}}$ そして $\displaystyle \tau ^{2}}$ 。

の $\displaystyle \sigma ^{2}}$ このパラメータは級内相関係数とも呼ばれます。

周辺尤度

ランダム効果モデルでは周辺尤度が重要である。^{[ 7 ]}

アプリケーション

実際に使用されているランダム効果モデルには、保険契約のビュールマンモデルや、小地域推定に使用されるフェイ・ヘリオットモデルなどがあります。

さらに読む

Baltagi, Badi H. (2008).パネルデータの計量経済学的分析（第4 版）. ニューヨーク、NY: Wiley. pp. 17–22 . ISBN 978-0-470-51886-1。
シャオ・チェン (2003)。パネルデータの分析(第 2 版)。ニューヨーク州ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。73 ～92ページ。ISBN 0-521-52271-4。
ウールドリッジ、ジェフリー・M. (2002).横断データとパネルデータの計量経済学的分析. マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT Press. pp. 257–265 . ISBN 0-262-23219-7。
Gomes, Dylan GE (2022年1月20日). 「混合効果モデルにおいて、グループ化因子のレベルが5未満の場合、固定効果とランダム効果のどちらを使用すべきか？」. PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .

参考文献

↑ディグル、ピーター J.ヒーガティ、パトリック。リャン・クンイー。ゼガー、スコット L. (2002)。縦断データの分析(第 2版)。オックスフォード大学出版局。169 ～171ページ。ISBN 0-19-852484-6。
↑ Fitzmaurice, Garrett M.; Laird, Nan M.; Ware, James H. (2004).応用縦断分析. Hoboken: John Wiley & Sons. pp. 326–328 . ISBN 0-471-21487-6。
↑ Laird, Nan M .; Ware, James H. (1982). "Random-Effects Models for Longitudinal Data". Biometrics . 38 (4): 963–974 . doi : 10.2307/2529876 . JSTOR 2529876. PMID 7168798 .
↑ Gardiner, Joseph C.; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). "固定効果、ランダム効果、GEE:違いは何ですか?". Statistics in Medicine . 28 (2): 221– 239. doi : 10.1002/sim.3478 . PMID 19012297 .
↑ Gomes, Dylan GE (2022年1月20日). 「混合効果モデルでグループ化因子のレベルが5未満の場合、固定効果とランダム効果のどちらを使用すべきか？」 . PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .
1 2ウールドリッジ、ジェフリー（2010）。横断データとパネルデータの計量経済学的分析（第2版）。マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT Press。p. 252。ISBN 978-0-262-23258-6OCLC 627701062
↑ Hedeker, D., Gibbons, R. D. (2006). Longitudinal Data Analysis. Deutschland: Wiley. Page 163 https://books.google.com/books?id=f9p9iIgzQSQC&pg=PA163

外部リンク

固定効果モデルとランダム効果モデル
メタ分析の実施方法：固定効果モデルとランダム効果モデル

[1] ディグル、ピーター J.ヒーガティ、パトリック。リャン・クンイー。ゼガー、スコット L. (2002)。縦断データの分析(第 2版)。オックスフォード大学出版局。169 ～171ページ。ISBN 0-19-852484-6。

[2] Fitzmaurice, Garrett M.; Laird, Nan M.; Ware, James H. (2004).応用縦断分析. Hoboken: John Wiley & Sons. pp. 326–328 . ISBN 0-471-21487-6。

[3] Laird, Nan M .; Ware, James H. (1982). "Random-Effects Models for Longitudinal Data". Biometrics . 38 (4): 963–974 . doi : 10.2307/2529876 . JSTOR 2529876. PMID 7168798 .

[4] Gardiner, Joseph C.; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). "固定効果、ランダム効果、GEE:違いは何ですか?". Statistics in Medicine . 28 (2): 221– 239. doi : 10.1002/sim.3478 . PMID 19012297 .

[5] Gomes, Dylan GE (2022年1月20日). 「混合効果モデルでグループ化因子のレベルが5未満の場合、固定効果とランダム効果のどちらを使用すべきか？」 . PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .

[:0-6] 1 2ウールドリッジ、ジェフリー（2010）。横断データとパネルデータの計量経済学的分析（第2版）。マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT Press。p. 252。ISBN 978-0-262-23258-6OCLC 627701062

[7] Hedeker, D., Gibbons, R. D. (2006). Longitudinal Data Analysis. Deutschland: Wiley. Page 163 https://books.google.com/books?id=f9p9iIgzQSQC&pg=PA163

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分散成分

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