単位セル

幾何学、生物学、鉱物学、固体物理学において、単位格子は格子の点にまたがるベクトルによって形成される繰り返し単位である。^[1]その示唆に富む名前にもかかわらず、単位格子は（例えば単位ベクトルとは異なり）必ずしも単位サイズを持っているわけではなく、特定のサイズさえも持っていない。むしろ、原始格子は単位ベクトルに最も近い類似物であり、与えられた格子に対して決定されたサイズを持ち、より大きなセルを構成する基本的な構成要素である。

この概念は、すべての次元で意味を持ちますが、特に2 次元および 3 次元での結晶構造を説明する際に使用されます。格子は、その単位セルの形状によって特徴付けられます。単位セルは、タイリングの一部 (平行四辺形または平行六面体) であり、平行移動のみを使用してタイリング全体を生成します。

単位格子には、プリミティブセルと従来型セルという 2 つの特殊なケースがあります。プリミティブセルは、単一の格子点に対応する単位格子で、可能な限り最小の単位格子です。^[2]場合によっては、結晶構造の完全な対称性がプリミティブセルからは明らかではなく、その場合は従来型セルが使用されます。従来型セル (プリミティブセルの場合もそうでない場合もあります) は、格子の完全な対称性を備えた単位格子で、複数の格子点を含む場合があります。従来型単位格子は、n次元の平行四辺形です。

原始細胞

プリミティブセルとは、正確に1つの格子点を含む単位セルです。単位セルの場合、一般に $n$ 個のセルで共有される格子点は、 ⁠1/ $ん$ ⁠それぞれのセルに含まれる格子点の数。例えば、8つの頂点にのみ格子点を持つ3次元の基本単位セルには、⁠ が含まれるとみなされます。1/8⁠それぞれの格子点の格子点の向きは、格子点の向きによって決まる。^[3]別の概念化としては、 $n個の$ 格子点のうち1つだけを一貫して特定の単位セルに属するように選択するというものがある（つまり、他の $n-1個$ の格子点は隣接する単位セルに属する）。

基本変換ベクトル $a \to 1$ 、 $a \to 2$ 、 $a \to 3$ は、特定の3次元格子の最小体積の格子セルに広がり、結晶変換ベクトルを定義するために使用されます。

{\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3}、

ここで $u 1$ 、 $u 2$ 、 $u 3 は$ 整数であり、これによって格子は不変となる。^{[注 1]}つまり、格子 $r$ 内の点について、点の配置は $r' = r + T \to$ $から見てもr$ から見ても同じように見える。^[4]

プリミティブセルはプリミティブ軸（ベクトル） $a \to 1$ 、 $a \to 2$ 、 $a \to 3$ によって定義されるため、プリミティブセルの体積 $V p$ は上記の軸からの平行六面体によって次のように表される。

V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.

通常、2次元および3次元のプリミティブセルは、セルの各角に原子が配置された平行四辺形や平行六面体の形状をとるように選択されます。このプリミティブセルの選択は一意ではありませんが、プリミティブセルの体積は常に上記の式で与えられます。^[5]

ウィグナー・ザイツ細胞

平行六面体の基本セルに加えて、すべてのブラヴェ格子には、ウィグナー・ザイツセルと呼ばれる別の種類の基本セルがあります。ウィグナー・ザイツセルでは、格子点はセルの中心にあり、ほとんどのブラヴェ格子では、形状は平行四辺形や平行六面体ではありません。これはボロノイセルの一種です。運動量空間における逆格子のウィグナー・ザイツセルは、ブリルアンゾーンと呼ばれます。

従来のセル

それぞれの格子に対して、計算の都合に基づいて結晶学者がケースバイケースで従来のセルを選択しました。^[6]これらの従来のセルには、単位セルの面または本体の中央に格子点が追加されている場合があります。格子点の数と従来のセルの体積は、原始セルの整数倍（1、2、3、または4）です。^[7]

2次元

2 次元格子では、単位セルは平行四辺形であり、特殊な場合には直交角、等しい長さ、またはその両方を持つことがあります。5 つの 2 次元ブラベー格子のうち 4 つは、以下に示すように、従来のプリミティブセルを使用して表されます。

中心長方形格子にも菱形の基本セルがありますが、対称性に基づいて簡単に区別できるように、2 つの格子点を含む従来のセルで表されます。

3次元

あらゆる 3 次元格子では、従来の単位セルは平行六面体であり、特殊な場合には直交角、等しい長さ、またはその両方を持つことがあります。14 個の 3 次元ブラヴェ格子のうち 7 個は、以下に示すように、従来のプリミティブセルを使用して表されます。

他の 7 つのブラヴェ格子 (中心格子と呼ばれる) にも平行六面体の形状の基本セルがありますが、対称性に基づいて簡単に区別できるように、複数の格子点を含む従来のセルで表されます。

参照

注記

^ $n$ 次元では結晶並進ベクトルは
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
つまり、格子 $r$ 内の点については、点の配置は $r' = r + T \to$ $から見てもr$ から見ても同じように見えます。

参考文献

^ アシュクロフト、ニール W. (1976)。「第 4 章」。固体物理学。WB サンダース社。p. 72。ISBN 0-03-083993-9。
^ サイモン、スティーブン（2013）。オックスフォード固体物理学（第1版）。オックスフォード大学出版局。p.114。ISBN 978-0-19-968076-4。
^ 「DoITPoMS – TLP ライブラリ結晶学 – 単位セル」。オンライン材料科学学習リソース: DoITPoMS。ケンブリッジ大学。2015年2 月 21 日閲覧。
^ キッテル、チャールズ（2004年11月11日）。固体物理学入門（第8版）。ワイリー。p.4。ISBN 978-0-471-41526-8。
^ Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). 「AFLOW 結晶学プロトタイプライブラリ: パート 1」.計算材料科学. 136. Elsevier BV: S1–S828. arXiv : 1806.07864 . doi :10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN 0927-0256. S2CID 119490841.
^ Aroyo, MI, ed. (2016-12-31).国際結晶学表. チェスター、イギリス: 国際結晶学連合. p. 25. doi :10.1107/97809553602060000114. ISBN 978-0-470-97423-0。
^ アシュクロフト、ニール W. (1976)。固体物理学。WB サンダース社。p. 73。ISBN 0-03-083993-9。

[first-4] $n$ 次元では結晶並進ベクトルは
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
つまり、格子 $r$ 内の点については、点の配置は $r' = r + T \to$ $から見てもr$ から見ても同じように見えます。

[1] アシュクロフト、ニール W. (1976)。「第 4 章」。固体物理学。WB サンダース社。p. 72。ISBN 0-03-083993-9。

[2] サイモン、スティーブン（2013）。オックスフォード固体物理学（第1版）。オックスフォード大学出版局。p.114。ISBN 978-0-19-968076-4。

[doitpoms-3] 「DoITPoMS – TLP ライブラリ結晶学 – 単位セル」。オンライン材料科学学習リソース: DoITPoMS。ケンブリッジ大学。2015年2 月 21 日閲覧。

[5] キッテル、チャールズ（2004年11月11日）。固体物理学入門（第8版）。ワイリー。p.4。ISBN 978-0-471-41526-8。

[6] Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). 「AFLOW 結晶学プロトタイプライブラリ: パート 1」.計算材料科学. 136. Elsevier BV: S1–S828. arXiv : 1806.07864 . doi :10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN 0927-0256. S2CID 119490841.

[7] Aroyo, MI, ed. (2016-12-31).国際結晶学表. チェスター、イギリス: 国際結晶学連合. p. 25. doi :10.1107/97809553602060000114. ISBN 978-0-470-97423-0。

[8] アシュクロフト、ニール W. (1976)。固体物理学。WB サンダース社。p. 73。ISBN 0-03-083993-9。