トンネル電離

物理学において、トンネル電離とは、原子（または分子）内の電子が電位障壁をトンネルして原子（または分子）から脱出するプロセスです。強力な電場では、原子（分子）の電位障壁は大幅に歪みます。したがって、電子が通過しなければならない障壁の長さが短くなると、電子は原子の電位からより簡単に脱出できます。トンネル電離は量子力学的な現象です。古典的な見方では、電子は原子の電位障壁を克服するのに十分なエネルギーを持たないためです。

原子が直流外部電場にある場合、クーロン電位障壁は低下し、電子が電位障壁をトンネルする確率はゼロではなくなるが増加する。交流電場の場合、電場の方向は電場の半周期後に反転する。イオン化された電子は親イオンに戻る可能性がある。電子は原子核（原子核）と再結合し、その運動エネルギーは光（高調波発生）として放出される。再結合が起こらない場合は、高エネルギー電子と親原子（分子）の衝突によってさらにイオン化が進む可能性がある。このプロセスは非連続イオン化として知られている。^[1]

静電（DC）場における水素原子の基底状態からのトンネルイオン化は、レフ・ランダウ^[2]によって放物線座標を用いて概略的に解明されました。これにより、印加された外部場に対するイオン化率が適切な指数関数的依存性を持つ、単純化された物理システムが提供されます。⁠ ⁠${\displaystyle E\ll E_{a}}$のとき、このシステムのイオン化率は次のように表されます。

${\displaystyle w=4\omega _{a}{\frac {E_{a}}{\left|E\right|}}\exp \left[-{\frac {2}{3}}{\frac {E_{a}}{\left|E\right|}}\right]}$

ランダウはこれを原子単位で表現しました。ここで、⁠ ⁠です${\displaystyle m_{\text{e}}=e=\hbar =1}$。SI単位では、前のパラメータは次のように表すことができます。

${\displaystyle E_{a}={\frac {m_{\text{e}}^{2}e^{5}}{(4\pi \epsilon _{0})^{3}\hbar ^{ 4}}}}$、

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{3} }}}$。

イオン化率は、外側の古典的な転換点を通過する全確率電流です。この率は、抑制されたクーロンポテンシャル障壁を通過する基底状態の水素波動関数と一致するようにWKB 近似を使用して求められます。

上記のイオン化率のより物理的に意味のある形は、ボーア半径と水素原子のイオン化エネルギーが次のように与えられる ことに留意することで得られる。

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}}$、

${\displaystyle E_{\text{ion}}=R_{\text{H}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}}$、

ここで はリュードベリエネルギーです。パラメータと は次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{\text{H}}\approx \mathrm {13.6\,eV} }$${\displaystyle E_{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$

${\displaystyle E_{a}={\frac {2R_{\text{H}}}{ea_{0}}}}$、。${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2R_{\text{H}}}{\hbar }}}$

総イオン化率は次のように書き換えられる。

${\displaystyle w=8{\frac {R_{\text{H}}}{\hbar }}{\frac {2R_{\text{H}}/a_{0}}{\left|eE\right|}}\exp \left[-{\frac {4}{3}}{\frac {R_{\text{H}}/a_{0}}{\left|eE\right|}}\right]}$。

このイオン化率の形式は、イオン化に必要な特性電場が、イオン化エネルギーと電子軌道の特性サイズの比に比例することを強調しています。したがって、 イオン化エネルギーが低く、主量子数が高い（つまり、周期表のかなり下の）軌道に電子が占有されている原子（アルカリ金属など）は、DC電場下で最も簡単にイオン化します。さらに、水素原子の場合、この特性イオン化場のスケーリングは⁠ ⁠となり、 は原子核の電荷です。このスケーリングは、イオン化エネルギーが ⁠ ⁠ として、軌道半径が⁠ ⁠としてスケーリングされるために発生します。水素軌道からのトンネル効果のより正確で一般的な式も得られます。^[3]${\displaystyle w}$${\displaystyle E_{a}={2E_{\text{ion}}}/{ea_{0}}}$${\displaystyle E_{\text{ion}}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Z^{3}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \propto Z^{2}}$${\displaystyle \propto Z^{-1}}$

経験的な基準として、 通常の水素原子の特性電場は約${\displaystyle E_{a}}$51  V / Å（または5.1 × 10 ³  MV/cm）であり、特性周波数は${\displaystyle \omega _{a}}$4.1 × 10 ⁴  THz。

レーザーのような交流電場における水素原子のイオン化率は、適切な限界において、電場の振動の単一周期にわたって平均された DC イオン化率として扱うことができます。原子または分子の多光子イオン化とトンネルイオン化は、束縛された電子がレーザー場から複数の光子を吸収してイオン化する同じプロセスを表します。これらの違いは、異なる条件下での定義の問題です。区別する必要がない場合は、以降、多光子イオン化 (MPI) と呼ぶことができます。MPI のダイナミクスは、シュレーディンガー方程式によって記述される原子の状態の時間発展を見つけることによって記述できます。

レーザーの強度が強い場合、最低次の摂動論ではMPI 過程を説明するのに十分ではありません。この場合、原子核からより遠い距離にあるレーザー場はクーロンポテンシャルよりも重要であり、場内の電子のダイナミクスを適切に考慮する必要があります。このカテゴリの最初の研究は、レオニード・ケルディッシュによって発表されました。^[4]彼は、MPI 過程を、原子の基底状態からボルコフ状態 (電磁場内の自由電子の状態^[5] ) への電子の遷移としてモデル化しました。このモデルでは、レーザー場による基底状態の摂動は無視され、イオン化確率を決定する原子構造の詳細は考慮されていません。ケルディッシュのモデルの主な問題は、クーロン相互作用が電子の最終状態に与える影響を無視していることでした。図からわかるように、クーロン場は、原子核からより遠い距離にあるレーザーのポテンシャルと比較して、大きさがそれほど小さくありません。これは、原子核近傍のレーザーのポテンシャルを無視して近似した値とは対照的である。AM Perelomov、VS Popov、MV Terent'ev ^{[6] [7]}は、より大きな核間距離でのクーロン相互作用を考慮した。彼らのモデル（彼らの頭文字をとってPPTモデルと呼ばれる）は短距離ポテンシャル用に導出されたもので、準古典的作用における一次補正を通じて長距離クーロン相互作用の効果を考慮している。準静的限界では、PPTモデルはMV Ammosov、NB Delone、VP KrainovによるADKモデルに近づく。^[8]

強力なレーザーパルスを使用して、全イオン収量と電子の運動エネルギーの両方を測定することにより、希ガス原子の MPI に関する多くの実験が行われてきました。ここでは、全イオン収量を測定するように設計された実験のみを検討します。これらの実験には、SL Chin ら^[9] 、 S. Augst ら^[10]、T. Auguste ら^[11]による実験があります。Chinらは、実験で 10.6 μm CO ₂レーザーを使用しました。レーザーの周波数が非常に低いため、トンネル効果は厳密に準静的であり、近赤外または可視領域の周波数のパルスを使用して簡単に達成できる特性ではありません。これらの発見により、基本的に構造のない原子という仮定に基づくモデルの適用可能性に対する疑念が弱まりました。S. Larochelle ら^{[12] は、} Ti:サファイアレーザーと相互作用する希ガス原子の理論的に予測されたイオン対強度曲線を実験測定と比較しました。彼らは、PPT モデルによって予測される総イオン化率が、ケルディッシュパラメータの中間領域におけるすべての希ガスの実験的イオン収量に非常によく適合することを示しました。

MPIのダイナミクスは、シュレーディンガー方程式で記述される原子の状態の時間発展を見つけることによって記述できます。単一活性電子（SAE）近似を仮定し、双極子近似を使用した電場ゲージにおけるこの方程式の形は次のとおりです。

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+(\mathbf {E} (t)\cdot \mathbf {r} +V(\mathbf {r} ))\Psi (\mathbf {r} ,\,t),}$

ここで、はレーザーの電場、は活性電子の位置における原子核の静的クーロンポテンシャルである。ポテンシャル（原子のイオン化ポテンシャルの大きさ）に対する式（1）の正確な解を求めることで、確率電流が計算される。次に、直線偏光の短距離ポテンシャルからの全MPI率は、次のように求められる 。${\displaystyle \mathbf {E} (t)}$${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle {\sqrt {2E_{\text{i}}}}.\delta (\mathbf {r} )}$${\displaystyle E_{\text{i}}}$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle W(\mathbf {E} ,\omega )}$

${\displaystyle W(\mathbf {E} ,\omega )=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\,dz\,dy\,dt}$

ここで はレーザーの周波数であり、軸方向に偏光していると仮定される。イオンポテンシャルの効果は、原子核から遠く離れたところで（原子またはイオン核の電荷）のように振る舞い、半古典的作用に対する一次補正によって計算される。その結果、イオンポテンシャルの効果は、MPIの速度を次の係数で増加させることになる。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {Z}/{r}}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle I_{\text{PPT}}=(2(E_{\text{i}})^{\frac {3}{2}}/F)^{n^{*}}}$

ここで、およびはレーザーのピーク電場である。したがって、直線偏光のレーザー場における 量子数およびの状態からのMPIの全率は次のように計算される。${\displaystyle n^{*}=Z/{\sqrt {2E_{\text{i}}}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{\text{PPT}}=I_{\text{PPT}}W(\mathbf {E} ,\omega )=|C_{n^{*}l^{*}}|^{2}{\sqrt {\frac {6}{\pi }}}f_{lm}E_{i}(2(2E_{\text{i}})^{\frac {3}{2}}/F)^{2n^{*}-|m|-3/2}(1+\gamma ^{2})^{|m/2|+3/4}A_{m}(\omega ,\gamma )e^{-{\frac {2}{3}}g(\gamma )(2E_{\text{i}})^{\frac {3}{2}}/F}}$

ここで は ケルディッシュの断熱パラメータ、⁠ ⁠です。係数、およびは 次のように与えられます。 ${\displaystyle \gamma ={\frac {\omega {\sqrt {2E_{\text{i}}}}}{F}}}$${\displaystyle l^{*}=n^{*}-1}$${\displaystyle f_{lm}}$${\displaystyle g(\gamma )}$${\displaystyle C_{n^{*}l^{*}}}$

${\displaystyle f_{lm}={\frac {(2l+1)(l+|m|){!}}{2^{|m|}|m|{!}(l-|m|){!}}}}$

${\displaystyle g(\gamma )={\frac {3}{2\gamma }}((1+{\frac {1}{2\gamma ^{2}}})\sinh ^{-1}(\gamma )-{\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{2\gamma }})}$

${\displaystyle |C_{n^{*}l^{*}}|^{2}={\frac {2^{2n^{*}}}{n^{*}\Gamma (n^{*}+l^{*}+1)\Gamma (n^{*}-l^{*})}}}$

係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle A_{m}(\omega ,\gamma )}$

${\displaystyle A_{m}(\omega ,\gamma )={\frac {4}{\sqrt {3\pi }}}{\frac {1}{|m|!}}{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma ^{2}}}\sum _{n>v}^{\infty }e^{-(n-v)\alpha (\gamma )}w_{m}\left({\sqrt {{\frac {2\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}(n-v)}}\right)}$、

どこ

${\displaystyle w_{m}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{m}e^{y^{2}}\,dy}$

${\displaystyle \alpha (\gamma )=2(\sinh ^{-1}(\gamma )-{\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}})}$

${\displaystyle v={\frac {E_{\text{i}}}{\omega }}(1+{\frac {1}{2\gamma ^{2}}})}$

ADKモデルは、がゼロに近づくときのPPTモデルの限界（準静的限界）です。この場合、準静的トンネル効果（QST）として知られ、イオン化率は次のように表されます。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle W_{\text{ADK}}=|C_{n^{*}l^{*}}|^{2}{\sqrt {\frac {6}{\pi }}}f_{lm}E_{i}(2(2E_{\text{i}})^{\frac {3}{2}}/F)^{2n^{*}-|m|-3/2}e^{-(2(2E_{\text{i}})^{\frac {3}{2}}/3F)}}$。

実際には、QST 領域の限界は⁠ ⁠${\displaystyle \gamma <1/2}$です。これは、次の考察によって正当化されます。^[13]図を参照すると、トンネルの容易さまたは困難さは、ポテンシャルが下方に曲げられている間に電子がポテン​​シャル障壁をトンネルするのにかかる等価古典時間と、トンネルの容易さまたは困難さの比として表すことができます。この比率は確かに⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$です。なぜなら、ポテンシャルは磁場振動の半サイクル中に下方に曲げられ、比率は次のように表されるからです。

${\displaystyle \gamma ={\frac {\tau _{\text{T}}}{{\frac {1}{2}}\tau _{\text{L}}}}}$、

ここで、はトンネル時間（電子がポテン​​シャル障壁を通過する古典的な飛行時間）であり、はレーザー場の振動周期です。 ${\displaystyle \tau _{\text{T}}}$${\displaystyle \tau _{\text{L}}}$

希ガス原子のMPIに関する理論的および実験的研究は豊富であるのに対し、中性分子のMPI速度の予測に関する研究は最近までほとんど行われていなかった。Walshら^[14]は、中性分子と相互作用するいくつかの二原子分子のMPI速度を測定し、10.6 μm CO ₂レーザー。彼らは、これらの分子が、分子の基底状態と同等のイオン化ポテンシャルを持つ構造のない原子であるかのようにトンネルイオン化されることを発見しました。A. Talebpour ら^{[15] [16] は}、Ti:サファイアレーザーパルスと相互作用する二原子分子のイオン化収量を定量的に近似することができました。この研究の結論は、電子が原子の MPI 速度の計算で使用される障壁の代わりにで与えられる障壁をトンネルすると仮定することにより、PPT モデルから二原子分子の MPI 速度を予測できるというものでした。この発見の重要性は、その実用性にあります。二原子分子の MPI 速度を予測するために必要な唯一のパラメーターは、単一のパラメーター⁠ ⁠です。不飽和炭化水素の MPI 速度に半経験的モデルを使用することは可能です。^[17]この単純な見方は、分子軌道の対称性によって決定されるレーザーの電場の分極に対する分子軸の向きへのイオン化依存性を無視している。この依存性は、強電場多光子イオン化を使用して分子動力学を追跡するために使用できる。^[18]${\displaystyle {Z_{\text{eff}}}/{r}}$${\displaystyle {1}/{r}}$${\displaystyle Z_{\text{eff}}}$

トンネル粒子が障壁領域内でどのくらいの時間を過ごすかという問題は、量子力学の初期の頃から未解決のままである。ケルディッシュ時間と密接に関連するブティカー・ランダウアー時間^[19]は両方とも虚数 (障壁下の波動関数の減衰に対応) であるため、トンネル時間は瞬間的であると示唆されることがある。最近の出版物^[20]では、トンネル時間の主な競合理論が、ヘリウム原子の強いレーザー場イオン化におけるアトクロックを使用した実験測定と比較されている。改良されたアトクロック測定により、大きな強度領域でのトンネル遅延時間は瞬間的ではなく実際のものであることが明らかになった。実験結果は、ファインマン経路積分(FPI) 定式化を使用して構築されたトンネル時間の確率分布と一致することがわかった。^{[21] [22]}しかし、その後の原子水素の研究により、実験で測定されたトンネル時間の大部分は、イオンコアが放出電子に及ぼす長距離クーロン力によるものであることが実証された。^[23]