四面体の三角法

四面体の三角法[ ^1]は、一般的な四面体の長さとさまざまな種類の角度の関係を説明します。

以下は、一般的な四面体に一般的に関連付けられる三角関数の量です。

• 6 つの辺の長さ- 四面体の 6 つの辺に関連付けられます。
• 12 個の面角- 四面体の 4 つの面それぞれに 3 個ずつあります。
• 6 つの二面角- 四面体の 6 つの辺に関連付けられます。四面体の任意の 2 つの面は辺で接続されているためです。
• 4 つの立体角- 四面体の各点に関連付けられています。

を一般四面体とし、 を3次元空間内の任意の点とします。 ${\displaystyle X={\overline {P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$

さらに、とを結ぶ辺をとし、の点の反対側の四面体の面をとします。言い換えると、 ${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$

• ${\displaystyle e_{ij}={\overline {P_{i}P_{j}}}}$
• ${\displaystyle F_{i}={\overline {P_{j}P_{k}P_{l}}}}$

ここで、および。 ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle i\neq j\neq k\neq l}$

次の量を定義します。

• ${\displaystyle d_{ij}}$= 辺の長さ${\displaystyle e_{ij}}$
• ${\displaystyle \alpha_{i,j}}$=面上の点における面角度${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle F_{j}}$
• ${\displaystyle \theta_{ij}}$= エッジに隣接する2つの面の間の二面角${\displaystyle e_{ij}}$
• ${\displaystyle \Omega_{i}}$= 点における立体角${\displaystyle P_{i}}$

を面の面積とします。この面積は、ヘロンの公式によって計算できます（3辺の長さがすべてわかっている場合）。 ${\displaystyle \Delta_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle \Delta _{i}={\sqrt {\frac {(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}}}$

または、次の式で表されます（角度と 2 つの対応する辺がわかっている場合）。

${\displaystyle \Delta _{i}={\frac {1}{2}}d_{jk}d_{jl}\sin \alpha _{j,i}}$

点から面までの高さを とします。四面体の体積は次の式で与えられます。これは次の関係を満たします。^[2]${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\Delta _{i}h_{i}}$$

${\displaystyle 288V^{2}={\begin{vmatrix}2Q_{12}&Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}\\Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&2Q_{13}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}\\Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}&2Q_{14}\end{vmatrix}}}$

辺の四分円（長さの二乗）は どこですか。${\displaystyle Q_{ij}=d_{ij}^{2}}$

面 をとります。辺の長さは で、それぞれの対角は で与えられます。 ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle d_{jk},d_{jl},d_{kl}}$${\displaystyle \alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}}$

この三角形には、三角形の 平面三角法の通常の法則が当てはまります。

点における射影（球面）三角形を考えます。この射影三角形の頂点は、四面体の他の 3 つの頂点と結合する 3 本の線です。辺の長さは球面状で、それぞれの反対側の球面角は で与えられます。 ${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$

この射影三角形には、 球面三角法の通常の法則が適用されます。

四面体 を取り、その点を頂点として考えます。交代正弦定理は、次の恒等式によって与えられます。この恒等式の 2 つの辺は、表面の時計回りと反時計回りの方向に対応すると見ることができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{i}}$$${\displaystyle \sin(\alpha _{j,l})\sin(\alpha _{k,j})\sin(\alpha _{l,k})=\sin(\alpha _{j,k })\sin(\alpha _{k,l})\sin(\alpha _{l,j})}$$

4 つの頂点のいずれかをOの役割に置くと、そのような恒等式が 4 つ生成されますが、そのうち独立しているのは最大で 3 つだけです。4 つの恒等式のうち 3 つの「時計回り」の辺を乗算し、その積が同じ 3 つの恒等式の「反時計回り」の辺の積に等しいと推定され、その後、両側から共通因数が消去されると、結果は 4 番目の恒等式になります。

3 つの角は、その合計が 180° (π ラジアン) である場合にのみ、ある三角形の角となります。12 の角が四面体の 12 の角となるには、どのような条件が必要かつ十分でしょうか。明らかに、四面体のどの辺の角の合計も 180° でなければなりません。そのような三角形が 4 つあるため、角の合計には 4 つの制約があり、自由度の数は 12 から 8 に減ります。正弦法則によって与えられる 4 つの関係により、自由度の数は 8 から 4 ではなく 5 にさらに減ります。これは、4 番目の制約が最初の 3 つの制約から独立していないためです。したがって、すべての四面体の形状の空間は 5 次元です。^[3]

参照:正弦の法則

四面体の余弦定理[ ^4]は、四面体の各面の面積と点の周りの二面角を関連付けます。これは次の式で与えられます。

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\デルタ _{j}\デルタ _{k}\cos \theta _{il}+\デルタ _{j}\デルタ _{l}\cos \theta _{ik}+\デルタ _{k}\デルタ _ {l}\cos \theta _{ij})}$

一般的な四面体を取り、面を面を持つ平面に投影します。 とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{i},F_{j},F_{k}}$${\displaystyle F_{l}}$${\displaystyle c_{ij}=\cos \theta _{ij}}$

すると、面の面積は投影面積の合計で次のように表されます。を四面体の4つの面のそれぞれに代入すると、次の同次線形方程式系が得られます。この同次系は、次の場合に正確に解を持ちます。この行列式を展開すると、四面体の二面角の関係^[1]が次のように得られます。${\displaystyle F_{l}}$$${\displaystyle \Delta _{l}=\Delta _{i}c_{jk}+\Delta _{j}c_{ik}+\Delta _{k}c_{ij}}$$${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$$${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta _{1}+\Delta _{2}c_{34}+\Delta _{3}c_{24}+\Delta _{4}c_{23}=0\\\Delta _{1}c_{34}-\Delta _{2}+\Delta _{3}c_{14}+\Delta _{4}c_{13}=0\\\Delta _{1}c_{24}+\Delta _{2}c_{14}-\Delta _{3}+\Delta _{4}c_{12}=0\\\Delta _{1}c_{23}+\Delta _{2}c_{13}+\Delta _{3}c_{12}-\Delta _{4}=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&c_{34}&c_{24}&c_{23}\\c_{34}&-1&c_{14}&c_{13}\\c_{24}&c_{14}&-1&c_{12}\\c_{23}&c_{13}&c_{12}&-1\end{vmatrix}}=0}$$$${\displaystyle 1-\sum _{1\leq i<j\leq 4}c_{ij}^{2}+\sum _{j=2 \atop k\neq l\neq j}^{4}c_{1j}^{2}c_{kl}^{2}=2\left(\sum _{i=1 \atop j\neq k\neq l\neq i}^{4}c_{ij}c_{ik}c_{il}+\sum _{2\leq j<k\leq 4 \atop l\neq j,k}c_{1j}c_{1k}c_{jl}c_{kl}\right)}$$

一般的な四面体をとり、 を辺上の点とし、 を線分が& の両方に垂直になるような辺上の点とします。を線分の長さとします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{ij}}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle P_{kl}}$${\displaystyle e_{kl}}$${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle e_{kl}}$${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$

見つけるには：^[1]${\displaystyle R_{ij}}$

まず、 を通り に平行な線を描き、 を通りに平行な線をもう 1 本描きます。これら 2 本の線の交点を とします。 点と を結びます。 作図により、は平行四辺形となり、したがってと は合同な三角形になります。 したがって、四面体と は体積が等しくなります。 ${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle e_{il}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle e_{kl}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$${\displaystyle {\overline {OP_{k}P_{i}}}}$${\displaystyle {\overline {OP_{l}P_{i}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y={\overline {OP_{i}P_{j}P_{k}}}}$

その結果、その量は点から四面体面までの高さに等しくなります。これは線分 の移動によって示されます。 ${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$

体積の公式により、四面体は次のような関係式を満たします。ここで、三角形 の面積です。線分 の長さは(平行四辺形と同様に)に等しいため、次のように表されます。ここで、 です。したがって、前の関係式は次のようになります。を取得するには、2 つの球面三角形を考えます。 ${\displaystyle Y}$$${\displaystyle 3V=R_{ij}\times \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$$${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$${\displaystyle {\overline {OP_{i}}}}$${\displaystyle d_{kl}}$${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$$${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})={\frac {1}{2}}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$${\displaystyle \lambda =\angle OP_{i}P_{j}}$$${\displaystyle 6V=R_{ij}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$${\displaystyle \sin \lambda }$

1. 四面体の点 における球面三角形をとると、辺と対角 を持つことになります。球面余弦定理により、${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$$${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}=\cos \alpha _{i,j}\cos \alpha _{i,l}+\sin \alpha _{i,j}\sin \alpha _{i,l}\cos \theta _{ik}}$$
2. 点 における四面体の球面三角形を取ります。辺は で与えられ、唯一わかっている対角は の角でで与えられます。球面余弦定理により、${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \pi -\theta _{ik}}$$${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}\cos \alpha _{k,j}-\sin \alpha _{i,l}\sin \alpha _{k,j}\cos \theta _{ik}}$$

2 つの方程式を組み合わせると、次の結果が得られます。$${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}\sin \alpha _{k,j}+\cos \lambda \sin \alpha _{i,j}=\cos \alpha _{i,l}\left(\cos \alpha _{i,j}\sin \alpha _{k,j}+\sin \alpha _{i,j}\cos \alpha _{k,j}\right)=\cos \alpha _{i,l}\sin \alpha _{l,j}}$$

主題の作成:したがって、余弦定理といくつかの基本的な三角法を使用すると:したがって:したがって: およびは、辺の長さの順列によって得られます。 ${\displaystyle \cos \lambda }$$${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}{\frac {\sin \alpha _{l,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}-\cos \alpha _{i,k}{\frac {\sin \alpha _{k,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}}$$$${\displaystyle \cos \lambda ={\frac {d_{ij}^{2}+d_{ik}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{ik}}}{\frac {d_{ik}}{d_{kl}}}-{\frac {d_{ij}^{2}+d_{il}^{2}-d_{jl}^{2}}{2d_{ij}d_{il}}}{\frac {d_{il}}{d_{kl}}}={\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$$$${\displaystyle \sin \lambda ={\sqrt {1-\left({\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$$$${\displaystyle R_{ij}={\frac {12V}{\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}}}$$${\displaystyle R_{ik}}$${\displaystyle R_{il}}$

分母は、一般的な凸四辺形の面積を評価する Bretschneider-von Staudtの公式を再定式化したものであることに注意してください。