トラップされた表面

閉じたトラップ面は、一般相対性理論のブラックホール解^[1]で使用される概念であり、事象の地平線の内部領域を記述します。ロジャー・ペンローズは1965年に閉じたトラップ面の概念を定義しました。^[2]トラップ面とは、光がブラックホールから離れない面です。ブラックホールの周りのすべてのトラップ面の結合境界は、見かけの地平線と呼ばれます。

関連用語であるトラップされたヌル面は、しばしば互換的に使用されます。しかし、因果地平線について議論する場合、トラップされたヌル面は、ヌル面を生み出すヌルベクトル場としてのみ定義されます。しかし、限界的にトラップされた面は、空間的、時間的、またはヌルである可能性があります。^[3]

これらは、制限された境界を持つ空間的表面（位相球、チューブなど）であり、その面積はあらゆる可能な未来方向に沿って局所的に減少する傾向があり、過去に関して二重の定義があります。トラップされた表面は、ローレンツ時空における共次元 2 の空間的表面です。したがって、^[4]では、任意の法線ベクトルは、2 つの未来に向いたヌルベクトルの線形結合として表すことができ、次のように正規化されます。

k ₊ · k ₋ = −2

k ₊ベクトルは「外向き」、k ₋ベクトルは「内向き」です。このようなベクトルの集合は、1 つの外向きのヌル合同と 1 つの内向きのヌル合同を生み出します。両方の合同の断面積が表面から出るにつれて減少する場合、表面はトラップされていると指定されます。これは平均曲率ベクトルに明らかで、次のようになります。

H ^ɑ = −θ ₊ k ₋ ^ɑ − θ ₋ k ₊ ^ɑ

両方のヌル展開 θ _{±が負の場合、表面はトラップされ、平均曲率ベクトルが時間的かつ未来指向であることを示します。外側の展開 θ +} = 0 および内側の展開 θ ₋ ≤ 0の場合、表面は限界的にトラップされます。

トラップされたヌル面は、一般相対性理論の文脈で、外向きの光線が実際に収束する（内側に移動する）閉じた面として定義される点の集合です。

トラップされたヌル面は、通常ブラックホールを囲む見かけの地平線の定義に使用されます。

我々は（コンパクトで、方向付け可能で、空間のような）表面を取り、その外向きの法線ベクトルを見つけます。ここで考えるべき基本的な図は、ピンが突き出ているボールです。ピンが法線ベクトルです。

ここで、これらの法線ベクトルに沿って外側に向けられた光線を見てみましょう。光線は発散するか (通常予想される場合)、収束します。直感的に、光線が収束する場合、これは光がボール内で後方に動いていることを意味します。表面全体のすべての光線が収束している場合、トラップされたヌル サーフェスがあると言えます。

より正式には、空間的二面体に直交するすべてのヌル合同が負の展開を持つ場合、そのような面はトラップされていると言われます。

• ヌル超曲面
• レイショードリ方程式

• SWホーキング＆GFRエリス（1975年）。『時空の大規模構造』ケンブリッジ大学出版局。 これは、歴史的に見てブラックホールのゴールドスタンダードであり、また非常に徹底した研究です。
• ロバート・M・ウォルド（1984年）。一般相対性理論。シカゴ大学出版局。ISBN 9780226870335。 この本はいくぶん新しいものです。