全確率の法則

確率論において、全確率の法則（または公式）は、周辺確率と条件付き確率を関連付ける基本的な規則である。これは、複数の異なる事象によって実現される可能性のある結果の全確率を表すため、この名前が付けられている。

全確率の法則は[ ^{1 ]離散}的な場合において、もし${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$が互いに排他的で網羅的な事象の有限または可算無限集合である場合、任意の事象に対して${\displaystyle A}$

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$$

または、あるいは^{[ 1 ]}

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}$$

どのような場合でも${\displaystyle n}$、 もし${\displaystyle P(B_{n})=0}$なので、これらの項は単純に総和から省略されます。${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$有限である。

この合計は加重平均として解釈でき、したがって周辺確率は、${\displaystyle P(A)}$は「平均確率」と呼ばれることもあります。^{[ 2 ]}非公式な文章では「全体確率」が使われることもあります。^{[ 3 ]}

全確率の法則は、条件付き確率についても同様に述べることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P({A\mid C})&={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}\\[2ex]&={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}\\[2ex]&=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})\end{aligned}}}$$

取っていく${\displaystyle B_{n}}$上記のとおり、そして仮定すると${\displaystyle C}$これは、${\displaystyle B_{n}}$:

$${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$$

全確率の法則は、連続確率変数によって生成される事象を条件付ける場合にも適用される。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$を確率空間とする。${\displaystyle X}$は分布関数を持つ確率変数です${\displaystyle F_{X}}$、 そして${\displaystyle A}$イベント${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$すると、全確率の法則は次のように述べる。

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).}$$

もし${\displaystyle X}$密度関数を許容する${\displaystyle f_{X}}$すると結果は

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

さらに、特定のケースでは${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$、 どこ${\displaystyle B}$がボレル集合である場合、これは次のようになる。

$${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

2つの工場が電球を市場に供給しているとします。工場Xの電球は99%の確率で5000時間以上点灯し、工場Yの電球は95%の確率で5000時間以上点灯します。工場Xは市場全体の電球の60%を、工場Yは市場全体の電球の40%を供給していることがわかっています。購入した電球が5000時間以上点灯する確率はどれくらいでしょうか？

全確率の法則を適用すると、次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}$$

どこ

• ${\displaystyle P(B_{X})={6 \over 10}}$購入した電球が工場Xで製造された確率は、
• ${\displaystyle P(B_{Y})={4 \over 10}}$購入した電球が工場Yで製造された確率は、
• ${\displaystyle P(A\mid B_{X})={99 \over 100}}$これは、 X社が製造した電球が5000時間以上動作する確率です。
• ${\displaystyle P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}}$Y社が製造した電球が5000時間以上動作する確率は、 Y社が製造した電球が5000時間以上動作する確率である。

したがって、購入した電球はそれぞれ97.4%の確率で5000時間以上動作する。

全確率の法則という用語は、離散確率変数に適用される全確率の法則の特殊なケースである選択法則を意味すると解釈されることがある。ある著者は「平均条件付き確率の法則」 ^{[ 4 ]}という用語を使用しているが、別の著者は連続の場合に「連続選択法則」と呼んでいる^{[ 5 ]} 。この結果は、グリメットとウェルシュ^{[ 6 ]}によって分割定理 として与えられており、彼らは関連する全期待値の法則にも同じ名前を付けている。

• 大数の法則
• 全期待値の法則
• 全変動の法則
• 全共分散の法則
• 全積分の法則
• 周辺分布