確率尺度の全変動距離

全変動距離は、ピンスカーの不等式によってカルバック・ライブラー情報量と関連付けられる。

$\displaystyle \delta (P,Q)\leq \sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.}$

また、 BretagnolleとHuber ^{[ 2 ]}による次の不等式も存在する（ ^{[ 3 ]}も参照）。この不等式は、たとえ次の場合でも非空虚な境界を与えるという利点がある。${\displaystyle \textstyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)>2\colon }$

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P\Parallel Q)}}}.}$

全変動距離は確率関数間のL1距離の半分です^。離散領域では、これは確率質量関数間の距離です^{[ 4 ]。}

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\sum _{x}|P(x)-Q(x)|,}$

分布が標準確率密度関数pとqを持つ場合、^{[ 5 ]}

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\int |p(x)-q(x)|\,\mathrm {d} x}$

（または、任意の共通支配尺度を持つラドン・ニコディム微分間の類似距離）。この結果は、定義における上限が、一方の分布が他方の分布を支配する集合で正確に達成されることに注目することで示すことができる。^{[ 6 ]}

全変動距離はヘリンジャー距離と関連している${\displaystyle H(P,Q)}$以下の通りです。^{[ 7 ]}

${\displaystyle H^{2}(P,Q)\leq \delta (P,Q)\leq {\sqrt {2}}H(P,Q).}$

これらの不等式は、 1ノルムと2ノルムの間の不等式から直ちに導かれる。

総変動距離（またはノルムの半分）は、コスト関数が次のようになる場合、最適な輸送コストとして現れる。${\displaystyle c(x,y)={\mathbf {1} }_{x\neq y}}$つまり、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\|PQ\|_{1}=\delta (P,Q)=\inf {\big \{}\mathbb {P} (X\neq Y):{\text{Law}}(X)=P,{\text{Law}}(Y)=Q{\big \}}=\inf _{\pi }\operatorname {E} _{\pi }[{\mathbf {1} }_{x\neq y}],}$

ここで期待値は確率測度に関して取られる。${\displaystyle \pi }$空間上で${\displaystyle (x,y)}$生命、そしてインフィムムはそのようなすべてのものの上に取られる${\displaystyle \pi }$周辺値付き${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$それぞれ。^{[ 8 ]}