ティティウス＝ボーデの法則

ティティウス＝ボーデの法則（単にボーデの法則と呼ばれることもある）は、任意の惑星系における惑星間の距離を数式で予測したものである。この法則によれば、惑星は外側に向かって、前の惑星の約2倍の距離を太陽から受けることになる。この仮説は、小惑星帯にあるケレスと天王星の軌道を正確に予測したが、海王星の軌道を予測することはできなかった。この法則は、ヨハン・ダニエル・ティティウスとヨハン・エラート・ボーデにちなんで名付けられた。

後にメアリー・アデラ・ブラッグとD.E.リチャードソンによって行われた研究は、元の公式を大幅に修正し、その後の新たな発見や観測によって検証された予測を行った。これらの再定式化は、「ティティウス・ボーデ型の法則の理論的意義を調査するための距離の最良の現象論的表現」を提供するものである。^{[ 1 ]}

この法則は半長軸と関連している${\displaystyle a_{n}}$各惑星の軌道の太陽から外側への距離を、地球の軌道長半径が10となるような単位で表す。$${\displaystyle a=4+x}$$どこ${\displaystyle x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768\ldots }$つまり、最初のステップを除いて、各値は前の値の2倍になります。この式には別の表現方法もあります。$${\displaystyle a=4+3\times 2^{n}}$$どこ${\displaystyle n=-\infty ,0,1,2,\ldots ~.}$得られた値を10で割ると、天文単位（au）に変換され、次の式が得られます。$${\displaystyle a=0.4+0.3\times 2^{n}.}$$土星より遠い外惑星については、各惑星は前の天体より太陽からおよそ2倍遠いと予測されている。ティティウス・ボーデの法則では土星、天王星、海王星、冥王星はそれぞれ約10、20、39、77天文単位と予測されているが、実際の値は10、19、30、40天文単位に近い。^{[ a ]}  

ティティウス・ボーデの法則の「古典的」（正統的）形式は$${\displaystyle a_{n}=0.4+0.3\times 2^{n}}$$この式には「再帰」形式もあります。${\displaystyle a_{n+1}=2\times a_{n}-0.4}$、 どこ${\displaystyle a_{0}=0.55.}$

ボーデの法則を近似する級数についての最初の言及は、 D. グレゴリーの教科書（1715年）に見られる。^{[ 2 ]}

...地球から太陽までの距離を10等分すると仮定すると、そのうち水星までの距離は約4、金星までの距離は約7、火星までの距離は約15、木星までの距離は約52、土星までの距離は約95となる。^{[ 3 ]}

^{グレゴリー（1715） [ 2 ] [ 3 ]}からの言い換えと思われる同様の文章が、C.ウォルフが1724年に出版した作品に登場します。

1764年、C.ボネは次のように書いた。^{[ 4 ]}

太陽系を構成する惑星（主要惑星とその衛星）は17個知られていますが、それ以上存在しないとは断言できません。^{[ 4 ] [ 3 ]}

J.D.ティティウスは、1766年にボネの著作を翻訳した際、上記の記述に自身の段落を2つ追加した。追加された段落は、 7ページの下部と8ページの冒頭に配置されている 。この新しい段落は、ボネの原文であるフランス語版にも、イタリア語版や英語版にも含まれていない。

ティティウスが挿入した文章は2つの部分から構成されている。最初の部分は、太陽からの惑星の距離の順序を説明している。

惑星同士の距離に注目し、ほぼすべての惑星が、その天体の大きさに比例した距離で互いに離れていることを認識してください。太陽から土星までの距離を100等分すると、水星は太陽から4等分、金星は4+3=7等分、地球は4+6=10等分、火星は4+12=16等分になります。しかし、火星から木星にかけて、この正確な進行からずれが生じていることに注目してください。火星から続く空間は4+24=28等分ですが、今のところそこに惑星は見つかっていません。しかし、創造主はその空間を空のままにしておくべきだったのでしょうか？いいえ、決してそうではありません。したがって、この空間は間違いなくまだ発見されていない火星の衛星に属するものと仮定しましょう。また、木星の周りにはまだ望遠鏡でまだ見つかっていない小さな衛星がいくつかあるかもしれないと付け加えておきましょう。我々にとってまだ未開拓のこの領域の隣には、4+48=52の地点に木星の勢力圏が、4+96=100の地点に土星の勢力圏が広がっている。

1772年、当時25歳だったJEボーデは天文学概説書を出版し、 ^{[ 5 ]}その中でティティウス（後の版）を引用した以下の脚注を含めた。^{[ b ] [ 6 ]}

この後者の点は、既知の6つの惑星が太陽からの距離において示す驚くべき関係から特に導かれるように思われる。太陽から土星までの距離を100とすると、水星は太陽からその4倍離れている。金星は4+3=7、地球は4+6=10、火星は4+12=16である。ここで、この整然とした進行に空白が生じる。火星の後には4+24=28の空間が続くが、この空間にはまだ惑星は見つかっていない。宇宙の創始者がこの空間を空けたままにしたと信じられるだろうか？もちろんそんなことはない。ここから木星までの距離は4+48=52、そして最後に土星までの距離は4+96=100となる。^{[ 6 ]}

これらの2つの記述は、その独特な表現と軌道に使用されている半径から判断すると、古代の宇宙論者によるアルゴリズムに由来しているように思われる。^{[ c ]}

17世紀以前に遡る多くの先例が見つかっている。ティティウスはドイツの哲学者C.F.フォン・ヴォルフ（1679-1754）の弟子であり、ティティウスがボネの著作に挿入したテキストの後半部分はフォン・ヴォルフの著書（1723年）^{[ 7 ]}にあり、ティティウスが彼からその関係を学んだことを示唆している。20世紀のティティウス＝ボーデの法則に関する文献では、フォン・ヴォルフが著者であるとされている。以前のバージョンはD.グレゴリー(1702 年) ^{[ 8 ]}によって書かれ、惑星距離 4、7、10、16、52、100 の連続が比 2 の等比数列になった。これは最も近いニュートンの公式であり、ティティウスがボネの著書をドイツ語に拡張翻訳する (1766 年) 数年前に、ベンジャミン マーティン(1747 年) ^{[ 9 ]}とトマス セルダ (1760 年頃) ^{[ 10 ]}によっても引用された。その後 2 世紀の間、後続の著者は、以前の研究を知らないようで、独自の修正版を発表し続けた。^{[ 1 ]}    

ティティウスとボーデは、この法則が新たな惑星の発見につながることを期待していた。そして実際に、天王星とケレスの発見（どちらも距離が法則によく合致していた）は、この法則の名声を高めることに貢献した。しかし、海王星の距離は大きくずれており、現在では惑星とはみなされていない冥王星の平均距離は、ティティウス＝ボーデの法則が天王星から最も近い惑星として予測した距離とほぼ一致する。

最初に発表されたとき、この法則は当時知られていたすべての惑星（つまり水星から土星まで）でほぼ満たされていましたが、4番目と5番目の惑星の間にはギャップがありました。ヴィカリウス（ヨハン・フリードリヒ）ヴルム（1787年）は、当時知られていた木星と土星の衛星を考慮し、水星までの距離をより正確に予測するティティウス・ボーデの法則の修正版を提案しました。^{[ 11 ]}

ティティウス＝ボーデの法則は興味深いものの、1781年に天王星が発見されるまではそれほど重要視されていなかった。天王星は偶然にもこの法則の系列にほぼ完全に合致していたからである。この発見に基づき、ボーデは同時代の科学者たちに第5惑星の探索を促した。小惑星帯最大の天体であるケレスは、1801年にボーデが予測した位置で発見された。

ボーデの法則は当時広く受け入れられていましたが、1846年に海王星が法則に合致しない場所で発見されました。同時に、小惑星帯で多数の小惑星が発見されたため、ケレスはもはや主要な惑星とはみなされなくなりました。1898年、天文学者で論理学者のC.S. パースは、ボーデの法則を誤った推論の例として用いました。^{[ 12 ]}

1930年の冥王星の発見は、この問題をさらに複雑にした。冥王星はボーデの法則による予測位置からは程遠い位置にあったが、海王星の位置としては法則が定めた位置に非常に近かった。その後、カイパーベルト、特に冥王星よりも質量が大きいにもかかわらずボーデの法則に当てはまらない天体エリスが発見されたことで、この公式の信憑性はさらに損なわれた。^{[ 13 ]}

ティティウス・ボーデの法則は、惑星が天文単位で特定の距離に存在することを予測しており、これは太陽系の惑星と2つの準惑星の観測データと比較することができる。

1913年、オックスフォード大学の天文学者MAブラッグは、この法則を再検討した。^{[ 14 ]}彼女は惑星系と、外側の巨大ガス惑星である木星、土星、天王星の衛星系の軌道を分析した。彼女は距離の対数を調べ、最適な「平均」差を見つけようとした。彼女の分析の結果、異なる公式が得られた。

$${\displaystyle {\mathsf {distance}}=A\cdot {\bigl [}\ B+f\left(\alpha +n\ \beta \right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ 1.7275\ {\bigr )}^{n}.}$$特に注目すべきは、ブラッグの公式では、太陽系の法則は、ティティウス、ボーデらが用いた元の値2ではなく、 1.7275の進行によって最もよく表されていた点である。

ブラッグは木星、土星、天王星の衛星系を調査し、それぞれにおいて同じ進行比1.7275を発見した。

しかし、補正関数fの最終形はブラッグの1913年の論文には示されておらず、ブラッグは提示された経験的数値はあくまで例示に過ぎないと述べている。経験的形式はグラフの形で示された（曲線上の点が、1913年以前に発見された対象物に関する経験的データと非常によく一致するのは、それらがまさに経験的データだからである）。

経験曲線によく適合する式を見つけるのは難しいことがわかった。形状のフーリエ解析の結果、次の 7 項の近似式が得られた。 ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\bigl (}\theta {\bigr )}&=0.4594+0.396\cos \!{\bigl (}\theta -27.4^{\circ }{\bigr )}+0.168\cos \!{\bigl (}2(\theta -60.4^{\circ }){\bigr )}+0.062\cos \!{\bigl (}3(\theta -28.1^{\circ }){\bigr )}+\\&{\phantom {=0.4594}}+0.053\cos \!{\bigl (}4(\theta -77.2^{\circ }){\bigr )}+0.009\cos \!{\bigl (}5(\theta -22^{\circ }){\bigr )}+0.012\cos \!{\bigl (}7(\theta -40.4^{\circ }){\bigr )}.\end{aligned}}}$$さらなる分析の後、Blagg は次のより単純な式を示しました。ただし、より単純な形式の代償は、経験的データへの適合精度が低いことです。Blagg は、論文でそれを正規化されていない形式で示しており、A、B、fの相対的なサイズが曖昧なままになっています。ここでは、正規化された形式で示しています (つまり、このバージョンのfは、 0から1 までの範囲の値を生成するようにスケーリングされています)。^{[ 15 ]}$${\displaystyle f{\bigl (}\theta {\bigr )}=0.249+0.860\left({\frac {\cos \Psi }{3-\cos \!\left(2\Psi \right)}}+{\frac {1}{6-4\cos \!\left(2\Psi -60^{\circ }\right)}}\right),}$$どこ${\displaystyle \Psi \equiv \theta -27.5^{\circ }.}$以下の計算では、 関数fのこれらの公式はどちらも使用されません。ここでの計算は、観測データに基づいて描かれた関数fのグラフに基づいています。

彼女の論文は1913年に発表され、1953年にAEロイが別の問題を研究しているときに偶然見つけるまで忘れ去られていた。^{[ 16 ]}ロイは、ブラッグ自身が、彼女の公式が1913年当時まだ発見されていなかった他の天体の近似平均距離を与えることができると示唆していたことに気づいた。それ以来、ブラッグが調査した3つの系で6つの天体が発見された。冥王星、シノペ（木星 IX）、リシテア（J  X）、カルメ（J  XI）、アナンケ（J  XII）、ミランダ（天王星 V）である。

ロイは、6つすべてが非常に近い位置にあることを発見した。これは誇張かもしれない。これらの6つの天体のうち、4つは1913年にすでに知られていた天体と同じ位置にあり、残りの2つについては、冥王星については約6%の過大評価があり、後にミランダについては6%の過小評価があることが明らかになった。^{[ 15 ]}

1945年の『ポピュラー・アストロノミー』誌の記事^{[ 17 ]}で、科学ライターのDEリチャードソンは、ブラッグと同じく、進行比が2ではなく1.728であるという結論に独自に到達したようだ。彼の間隔法則は次の形式である。$${\displaystyle R_{n}={\bigl (}1.728{\bigr )}^{n}\varrho _{n}(\theta _{n}),}$$どこ${\displaystyle \varrho _{n}}$周期を持つ振動関数${\displaystyle 2\pi }$距離を表す${\displaystyle \varrho _{n}}$中心からずれた原点から楕円上の点へ。

ティティウス・ボーデの法則に関する最初の現代的な包括的レビューを行ったニエト^{[ 18 ]}は、「天文学におけるこの法則の心理的な影響力は、人々が常にその原形を理論の基礎とみなす傾向があった」と指摘した。彼は、「将来の理論は、進行比が2であることを説明しようとする偏見を取り除かなければならない」と力説した。

強調すべき点の1つは、進行比が2であるという歴史的な偏見を捨てる必要があるということです。ティティウスの最初の定式化（非対称な第1項を持つ）は、良い最初の推測として見なされるべきであることは明らかです。確かに、理論を参照するための最良の推測として見なされるべきではありません。しかし、天文学では歴史の重みは大きいのです... 1.73という数字の方がはるかに優れているにもかかわらず、天文学者は元の数字2に固執しています。^{[ 1 ]}

ティティウス・ボーデの法則には確固たる理論的説明はないが、軌道共鳴と自由度の不足が組み合わさると、安定した惑星系はティティウス・ボーデ型の法則を満たす可能性が高い。これは「自然の法則」ではなく数学的な偶然かもしれないので、「法則」ではなく「規則」と呼ばれることもある。^{[ 19 ]}天体物理学者のアラン・ボスは、これは単なる偶然だと述べており、惑星科学誌「イカロス」はもはやこの「法則」の改良版を提示しようとする論文を受け付けていない。^{[ 13 ]}

主要な軌道天体による軌道共鳴により、太陽の周りには長期的に安定した軌道を持たない領域が作られる。惑星形成のシミュレーションの結果は、ランダムに選択された安定した惑星系はティティウス・ボーデの法則を満たす可能性が高いという考えを裏付けている。^{[ 20 ]}

DubrulleとGraner ^{[ 21 ] [ 22 ]}は、べき乗則距離規則は、回転不変性（つまり、雲とその内容物が軸対称であること）とスケール不変性（つまり、雲とその内容物がすべてのスケールで同じに見えること）という2つの対称性を持つ惑星系の崩壊雲モデルの結果である可能性があることを示した。後者は、乱流など、惑星形成において役割を果たすと考えられている多くの現象の特徴である。

• ダーモットの法則
• ファエトン（架空の惑星）
• 対数螺旋
• ミステリウム・コスモグラフィクム

• マシューズ、ロバート（1994年4月9日）「惑星を間隔を空けた幽霊の手」ニュー・サイエンティスト、13ページ 。
• Perdijk, HJR 「ティティウス・ボーデの法則の説明」 . 植物と惑星. KPN . 2014年7月15日のオリジナルからアーカイブ済み。 2024年1月26日取得。―神秘的で思索的。参照図はアーカイブに存在しない。
• パレス・イ・ファラス、ラモン（2016）。Distancias planarias y ley de Titius-Bode [惑星の距離とティティウス・ボードの法則] (PDF) (人気の天文学エッセイ) (スペイン語) 。2024 年1 月 26 日に取得。―距離測定の歴史とティティウスの法則の発展、関わった著名な天文学者、そして現代の惑星や衛星の距離をグラフや単純な比率で解説したもの